Через пункты А и Б, расстояние между которыми 100 км, проходит прямолинейное шоссе. Из пунктов А и Б одновременно выехали два велосипедиста. Первый едет со скоростью 30 км/ч, второй — со скоростью 20 км/ч. Какое расстояние будет между ними через час? Найдите все возможные варианты.

Решение:

Рассмотрим два случая движения велосипедистов:

1. Велосипедисты едут навстречу друг другу:
   За час первый велосипедист проедет \( 30 \text{ км/ч} \cdot 1 \text{ ч} = 30 \text{ км} \).
   За час второй велосипедист проедет \( 20 \text{ км/ч} \cdot 1 \text{ ч} = 20 \text{ км} \>.
   Общее расстояние, которое они преодолели вместе, равно \( 30 \text{ км} + 20 \text{ км} = 50 \text{ км} \>.
   Расстояние между ними будет \( 100 \text{ км} - 50 \text{ км} = 50 \text{ км} \>.
2. Велосипедисты едут в одном направлении (из А в Б, или из Б в А):
   Предположим, они едут из А в Б. Первый велосипедист (скорость 30 км/ч) едет из А, второй (скорость 20 км/ч) — из Б.
   За час первый велосипедист проедет \( 30 \text{ км} \).
   За час второй велосипедист проедет \( 20 \text{ км} \>.
   Первый велосипедист проехал \( 30 \text{ км} \) от точки А.
   Второй велосипедист проехал \( 20 \text{ км} \) от точки Б. Поскольку расстояние между А и Б 100 км, то после часа движения второй велосипедист окажется на расстоянии \( 100 \text{ км} - 20 \text{ км} = 80 \text{ км} \) от точки А.
   Расстояние между ними будет \( 80 \text{ км} - 30 \text{ км} = 50 \text{ км} \>.
3. Велосипедисты едут в одном направлении, но из разных пунктов, причем один догоняет другого:
   Если оба едут из А в Б, то первый (30 км/ч) проедет \( 30 \text{ км} \), второй (20 км/ч) проедет \( 20 \text{ км} \>. Расстояние между ними будет \( 30 \text{ км} - 20 \text{ км} = 10 \text{ км} \>.
4. Если оба едут из Б в А, то первый (30 км/ч) проедет \( 30 \text{ км} \), второй (20 км/ч) проедет \( 20 \text{ км} \>. Расстояние между ними будет \( 30 \text{ км} - 20 \text{ км} = 10 \text{ км} \>.
5. Велосипедисты едут из одного пункта в противоположных направлениях:
   Например, оба из А, но в разные стороны. Первый проедет \( 30 \text{ км} \) в одну сторону, второй — \( 20 \text{ км} \) в другую. Расстояние между ними будет \( 30 \(\text{ км}\) + 20 \(\text{ км}\) = 50 \(\text{ км}\) \>.

Ответ: 10 км или 50 км.