Частые ошибки в домашних заданиях по алгебре Задание 1. Задана функция у = −2x² + 6x – 7. Найдите: а) область определения данной функции (10 баллов); 6) область значений данной функции (10 баллов). Задание 2 (15 баллов). Задана квадратичная функция у = −3x² + 12x + d. Определите значение d, при котором наибольшее значение функции равно 15.

Решение Задания 1:

Дана квадратичная функция y = -2x² + 6x - 7.

1. Область определения (D(y)):

   Квадратичная функция определена для всех действительных чисел. Следовательно, область определения - это множество всех действительных чисел.

   \[ D(y) = (-\infty; +\infty) \]

2. Область значений (E(y)):

   Чтобы найти область значений, найдем вершину параболы. Координата x вершины находится по формуле: xv = -b / (2a).

   В нашем случае a = -2, b = 6.

   \[ x_v = -6 / (2 * (-2)) = -6 / (-4) = 1.5 \]

   Теперь найдем значение y в вершине:

   \[ y_v = -2(1.5)² + 6(1.5) - 7 \] \[ y_v = -2(2.25) + 9 - 7 \] \[ y_v = -4.5 + 9 - 7 \] \[ y_v = -2.5 \]

   Так как коэффициент a отрицательный (a = -2), ветви параболы направлены вниз. Следовательно, наибольшее значение функции равно yv = -2.5. Область значений:

   \[ E(y) = (-\infty; -2.5] \]

Решение Задания 2:

Дана квадратичная функция y = -3x² + 12x + d.

Наибольшее значение функции равно 15. Так как коэффициент при x² (a = -3) отрицательный, ветви параболы направлены вниз, и наибольшее значение достигается в вершине параболы.

Найдем координату x вершины:

\[ x_v = -b / (2a) \] \[ x_v = -12 / (2 * (-3)) \] \[ x_v = -12 / (-6) \] \[ x_v = 2 \]

Теперь подставим значение xv = 2 и заданное наибольшее значение функции yv = 15 в уравнение функции, чтобы найти d:

\[ 15 = -3(2)² + 12(2) + d \] \[ 15 = -3(4) + 24 + d \] \[ 15 = -12 + 24 + d \] \[ 15 = 12 + d \] \[ d = 15 - 12 \] \[ d = 3 \]

Ответ:

• Задание 1: а) D(y) = (-\infty; +\infty), б) E(y) = (-\infty; -2.5]
• Задание 2: d = 3