Частное решение дифференциального уравнения у" - 2y' + y = 3sinx равно

Решим дифференциальное уравнение $$y'' - 2y' + y = 3\sin x$$.

1. Найдем общее решение однородного уравнения $$y'' - 2y' + y = 0$$.Характеристическое уравнение: $$k^2 - 2k + 1 = 0$$,$$(k-1)^2 = 0$$,$$k_1 = k_2 = 1$$.Тогда общее решение однородного уравнения: $$y_{об} = C_1e^x + C_2xe^x$$.
2. Найдем частное решение неоднородного уравнения. Будем искать в виде:$$y_{част} = A\sin x + B\cos x$$.Тогда:$$y' = A\cos x - B\sin x$$,$$y'' = -A\sin x - B\cos x$$.Подставим в исходное уравнение:$$(-A\sin x - B\cos x) - 2(A\cos x - B\sin x) + (A\sin x + B\cos x) = 3\sin x$$$$-A\sin x - B\cos x - 2A\cos x + 2B\sin x + A\sin x + B\cos x = 3\sin x$$$$(2B)\sin x + (-2A)\cos x = 3\sin x$$Отсюда получаем систему уравнений:$$\begin{cases}2B = 3 \\ -2A = 0\end{cases}$$Решая систему, получаем:$$A = 0$$,$$B = \frac{3}{2}$$.Тогда частное решение:$$y_{част} = \frac{3}{2}\cos x$$.

Следовательно, вариант ответа: $$\frac{3}{2} \cos x$$

Ответ: $$\frac{3}{2} \cos x$$