Частное двух чисел равно наибольшему общему делителю чисел 12 и 16. Сумма этих чисел равна наименьшему общему кратному чисел 50 и 75. Найдите эти числа.

Решение:

1. Найдём наибольший общий делитель (НОД) чисел 12 и 16. Разложим числа на простые множители:
• $$12 = 2^2 \cdot 3$$
• $$16 = 2^4$$
2. Общие простые множители — это $$2^2$$.
3. НОД(12, 16) = $$2^2 = 4$$.
4. Найдём наименьшее общее кратное (НОК) чисел 50 и 75. Разложим числа на простые множители:
• $$50 = 2 \cdot 5^2$$
• $$75 = 3 \cdot 5^2$$
5. Перечислим все простые множители, входящие в разложения чисел, с наибольшими степенями: $$2^1$$, $$3^1$$, $$5^2$$.
6. НОК(50, 75) = $$2 \cdot 3 \cdot 5^2 = 2 \cdot 3 \cdot 25 = 6 \cdot 25 = 150$$.
7. Обозначим неизвестные числа как \(a\) и \(b\).
8. По условию задачи:
• Частное двух чисел равно НОД(12, 16): \(\frac{a}{b} = 4\) или \(\frac{b}{a} = 4\).
• Сумма этих чисел равна НОК(50, 75): \(a + b = 150\).
9. Рассмотрим первый случай: \(\frac{a}{b} = 4\) => \(a = 4b\).
10. Подставим \(a = 4b\) во второе уравнение: \(4b + b = 150\) => \(5b = 150\) => \(b = \frac{150}{5} = 30\).
11. Тогда \(a = 4b = 4 \cdot 30 = 120\).
12. Проверим: \(\frac{120}{30} = 4\) и \(120 + 30 = 150\). Условия выполнены.
13. Рассмотрим второй случай: \(\frac{b}{a} = 4\) => \(b = 4a\).
14. Подставим \(b = 4a\) во второе уравнение: \(a + 4a = 150\) => \(5a = 150\) => \(a = \frac{150}{5} = 30\).
15. Тогда \(b = 4a = 4 \cdot 30 = 120\).
16. Мы получили ту же пару чисел.

Ответ: числа 30 и 120.