Часть 2 1. Основанием правильной пирамиды служит равносторонний треугольник со стороной 4 см. Каждое боковое ребро пирамиды составляет с плоскостью основания угол 45°. Найти площадь поверхности пирамиды. 2. Найдите площадь поверхности правильной треугольной призмы, сторона основания которой 4 см, а боковое ребро 4 см. 3. Радиус шара равен 4 см. Через конец радиуса, лежащий на сфере, проведена плоскость под углом 30° к нему. Найти площадь сечения шара. 4. Радиус основания цилиндра, описанного около сферы, равен 2. Найти разность между площадью поверхности цилиндра и сферы.

Часть 2

1. 1. Площадь поверхности правильной пирамиды

   Дано:

   Основание — равносторонний треугольник со стороной \( a = 4 \) см.

   Угол бокового ребра с плоскостью основания \( \gamma = 45^{\circ} \).

   Найти: \( S_{пов} \) — площадь поверхности пирамиды.

   Решение:

   Площадь поверхности пирамиды \( S_{пов} = S_{осн} + S_{бок} \).

   Площадь основания (равносторонний треугольник): \( S_{осн} = \frac{a^2 \sqrt{3}}{4} = \frac{4^2 \sqrt{3}}{4} = 4\sqrt{3} \) см².

   Для нахождения площади боковой поверхности нужно найти апофему \( h_a \).

   Высота пирамиды \( h \) находится из прямоугольного треугольника, образованного боковым ребром, высотой пирамиды и радиусом описанной окружности \( R_{осн} \) основания. Угол между боковым ребром и плоскостью основания равен \( \gamma = 45^{\circ} \).

   Радиус окружности, описанной около равностороннего треугольника: \( R_{осн} = \frac{a}{\sqrt{3}} = \frac{4}{\sqrt{3}} \) см.

   Высота пирамиды: \( h = R_{осн} \tan \gamma = \frac{4}{\sqrt{3}} \tan 45^{\circ} = \frac{4}{\sqrt{3}} \cdot 1 = \frac{4}{\sqrt{3}} \) см.

   Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный апофемой \( h_a \), высотой пирамиды \( h \) и радиусом вписанной окружности \( r_{осн} \) основания. Ра~диус вписанной окружности \( r_{осн} = \frac{a}{2\sqrt{3}} = \frac{4}{2\sqrt{3}} = \frac{2}{\sqrt{3}} \) см.

   Апофема: \( h_a = \sqrt{h^2 + r_{осн}^2} = \sqrt{(\frac{4}{\sqrt{3}})^2 + (\frac{2}{\sqrt{3}})^2} = \sqrt{\frac{16}{3} + \frac{4}{3}} = \sqrt{\frac{20}{3}} = \frac{2\sqrt{5}}{\sqrt{3}} = \frac{2\sqrt{15}}{3} \) см.

   Площадь боковой поверхности: \( S_{бок} = \frac{1}{2} P_{осн} h_a \), где \( P_{осн} \) — периметр основания.

   \( P_{осн} = 3a = 3 \cdot 4 = 12 \) см.

   \( S_{бок} = \frac{1}{2} \cdot 12 \cdot \frac{2\sqrt{15}}{3} = 6 \cdot \frac{2\sqrt{15}}{3} = 4\sqrt{15} \) см².

   Площадь полной поверхности: \( S_{пов} = 4\sqrt{3} + 4\sqrt{15} \) см².

   Ответ: \( 4\sqrt{3} + 4\sqrt{15} \) см².

2. 2. Площадь поверхности правильной треугольной призмы

   Дано:

   Правильная треугольная призма.

   Сторона основания \( a = 4 \) см.

   Боковое ребро \( h = 4 \) см.

   Найти: \( S_{пов} \) — площадь поверхности призмы.

   Решение:

   Площадь поверхности призмы \( S_{пов} = 2 S_{осн} + S_{бок} \).

   Площадь основания (равносторонний треугольник): \( S_{осн} = \frac{a^2 \sqrt{3}}{4} = \frac{4^2 \sqrt{3}}{4} = 4\sqrt{3} \) см².

   Площадь боковой поверхности: \( S_{бок} = P_{осн} \cdot h \).

   Периметр основания: \( P_{осн} = 3a = 3 \cdot 4 = 12 \) см.

   \( S_{бок} = 12 \cdot 4 = 48 \) см².

   Площадь полной поверхности: \( S_{пов} = 2 \cdot 4\sqrt{3} + 48 = 8\sqrt{3} + 48 \) см².

   Ответ: \( 48 + 8\sqrt{3} \) см².

3. 3. Площадь сечения шара

   Дано:

   Радиус шара \( R = 4 \) см.

   Плоскость проведена под углом \( \theta = 30^{\circ} \) к радиусу.

   Найти: \( S_{сеч} \) — площадь сечения шара.

   Решение:

   Сечение шара плоскостью — круг. Для нахождения площади этого круга нужно найти его радиус \( r_{сеч} \).

   Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный радиусом шара \( R \), расстоянием от центра шара до плоскости \( d \) и радиусом сечения \( r_{сеч} \).

   Угол между радиусом, проведенным в точку на окружности сечения, и плоскостью равен \( 90^{\circ} \). Угол между радиусом и нормалью к плоскости равен \( 30^{\circ} \).

   В нашем случае, плоскость проведена под углом 30° к радиусу. Это означает, что угол между радиусом и нормалью к плоскости составляет 30°. Следовательно, расстояние от центра шара до плоскости \( d \) связано с радиусом шара \( R \) и этим углом.

   Если плоскость проведена под углом \( \theta \) к радиусу, то это обычно подразумевает угол между нормалью к плоскости и радиусом. В таком случае, \( d = R \cos \theta \). Однако, формулировка «под углом 30° к нему» (к радиусу) может быть неоднозначной.

   Предположим, что имеется в виду угол между нормалью к плоскости и радиусом, проведенным в точку на сфере. Тогда \( d = R \cos 30^{\circ} = 4 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 2\sqrt{3} \) см.

   Радиус сечения: \( r_{сеч} = \sqrt{R^2 - d^2} = \sqrt{4^2 - (2\sqrt{3})^2} = \sqrt{16 - 12} = \sqrt{4} = 2 \) см.

   Площадь сечения: \( S_{сеч} = \pi r_{сеч}^2 = \pi (2^2) = 4\pi \) см².

   Ответ: \( 4\pi \) см².

4. 4. Разность площадей поверхности цилиндра и сферы

   Дано:

   Цилиндр, описанный около сферы.

   Радиус основания цилиндра \( R_{цилиндра} = 2 \).

   Найти: \( S_{цилиндра} - S_{сферы} \).

   Решение:

   Если цилиндр описан около сферы, то радиус основания цилиндра равен радиусу сферы \( R_{сферы} \), и высота цилиндра равна диаметру сферы.

   \( R_{сферы} = R_{цилиндра} = 2 \).

   Высота цилиндра \( h_{цилиндра} = 2 R_{сферы} = 2 \cdot 2 = 4 \).

   Площадь поверхности сферы: \( S_{сферы} = 4 \pi R_{сферы}^2 = 4 \pi (2^2) = 16\pi \).

   Площадь боковой поверхности цилиндра: \( S_{бок.цилиндра} = 2 \pi R_{цилиндра} h_{цилиндра} = 2 \pi (2)(4) = 16\pi \).

   Площадь оснований цилиндра: \( 2 S_{осн.цилиндра} = 2 \pi R_{цилиндра}^2 = 2 \pi (2^2) = 8\pi \).

   Полная площадь поверхности цилиндра: \( S_{цилиндра} = S_{бок.цилиндра} + 2 S_{осн.цилиндра} = 16\pi + 8\pi = 24\pi \).

   Разность площадей: \( S_{цилиндра} - S_{сферы} = 24\pi - 16\pi = 8\pi \).

   Ответ: \( 8\pi \).