Контрольные задания
Вопрос:

Часть 1. Выберите правильный ответ и запишите его номер в бланк ответов.

Фото заданияОткрыть фото

Ответ:

Часть 1. Выберите правильный ответ и запишите его номер в бланк ответов.



1. Дискриминант квадратного уравнения \( 3x - 2 + 6x^2 = 0 \) равен:



  1. \( -39 \)

  2. \( 33 \)

  3. \( -68 \)

  4. \( 57 \)



2. Упростите выражение:


\( \left( \frac{1}{\sqrt{4}} + \frac{1}{\sqrt{3}} \right) \cdot 3\sqrt{2} - 0,75\sqrt{6} \)



  1. \( \sqrt{2} \)

  2. \( 2 \)

  3. \( \sqrt{6} \)

  4. \( 0,2\sqrt{6} \)



3. Найдите произведение корней уравнения:


\( 2x^2 - 14 = 0 \)



  1. \( -7 \)

  2. \( 7 \)

  3. \( 14 \)

  4. \( -14 \)



4. Решите неравенство:


\( 9 - 2x \ge 8 \)



  1. \( (-\infty; 0,5] \)

  2. \( (-\infty; -0,5] \)

  3. \( [0,5; \infty) \)

  4. \( [-0,5; \infty) \)



5. Решите уравнение:


\( 7x^2 - 5x - 2 = 0 \)



  1. \( 2 \) и \( -\frac{1}{7} \)

  2. \( -1 \) и \( \frac{2}{7} \)

  3. \( 1 \) и \( -\frac{2}{7} \)

  4. нет корней.



6. Сократите дробь:


\( \frac{5x - 15}{x^2 - 9} \)



  1. \( \frac{5}{x - 3} \)

  2. \( \frac{5}{3 - x} \)

  3. \( \frac{5}{x + 3} \)

  4. \( \frac{5}{x - 9} \)



7. В равнобедренном треугольнике высота, проведенная к основанию, равна 12см. Найдите боковую сторону, если основание треугольника равно 10см.



  1. \( 12 \text{см} \)

  2. \( 13 \text{см} \)

  3. \( 10 \text{см} \)

  4. \( 2\sqrt{11} \text{см} \)



Часть 2. Письменно оформите решение с подробными пояснениями (для классов, обучающихся по общеобразовательной программе)



31. Решите уравнение: \( (2x - 1)^2 = -2x + 1 \) и найдите сумму корней.



  1. Раскроем скобки: \( 4x^2 - 4x + 1 = -2x + 1 \)

  2. Перенесём все члены в левую часть: \( 4x^2 - 4x + 1 + 2x - 1 = 0 \)

  3. Приведём подобные: \( 4x^2 - 2x = 0 \)

  4. Вынесем общий множитель \( 2x \): \( 2x(2x - 1) = 0 \)

  5. Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю:

  6. \( 2x = 0 \) или \( 2x - 1 = 0 \)

  7. \( x_1 = 0 \) или \( 2x = 1 \)

  8. \( x_1 = 0 \) или \( x_2 = \frac{1}{2} \)

  9. Найдем сумму корней: \( x_1 + x_2 = 0 + \frac{1}{2} = \frac{1}{2} \)


Ответ: \( x_1 = 0, x_2 = \frac{1}{2} \), сумма корней \( \frac{1}{2} \).



32. Решите задачу: Мотоциклист проехал 40 км от пункта А до пункта В. Возвращаясь обратно со скоростью на 10 км/ч меньше первоначальной, он затратил на путь на 20 мин больше. Найдите первоначальную скорость мотоциклиста.



  1. Пусть \( v \) км/ч — первоначальная скорость мотоциклиста.

  2. Время в пути от А до В: \( t_1 = \frac{40}{v} \) ч.

  3. Скорость на обратном пути: \( v - 10 \) км/ч.

  4. Время в пути от В до А: \( t_2 = \frac{40}{v - 10} \) ч.

  5. По условию, \( t_2 = t_1 + 20 \) мин. Переведём 20 минут в часы: \( 20 \text{ мин} = \frac{20}{60} = \frac{1}{3} \) ч.

  6. Составим уравнение: \( \frac{40}{v - 10} = \frac{40}{v} + \frac{1}{3} \)

  7. Умножим обе части уравнения на \( 3v(v - 10) \), чтобы избавиться от знаменателей:

  8. \( 40 \cdot 3v = 40 \cdot 3(v - 10) + v(v - 10) \)

  9. \( 120v = 120(v - 10) + v^2 - 10v \)

  10. \( 120v = 120v - 1200 + v^2 - 10v \)

  11. Перенесём все члены в правую часть: \( v^2 - 10v - 1200 = 0 \)

  12. Решим квадратное уравнение. Дискриминант \( D = (-10)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-1200) = 100 + 4800 = 4900 \).

  13. \( \sqrt{D} = \sqrt{4900} = 70 \).

  14. \( v_1 = \frac{10 + 70}{2} = \frac{80}{2} = 40 \).

  15. \( v_2 = \frac{10 - 70}{2} = \frac{-60}{2} = -30 \).

  16. Так как скорость не может быть отрицательной, \( v = 40 \) км/ч.


Ответ: первоначальная скорость мотоциклиста 40 км/ч.



Часть 2. Письменно оформите решение с подробными пояснениями (для классов с углубленным изучением математики)



1. Пусть \( x_1 \) и \( x_2 \) — корни уравнения \( x^2 + 2x - 11 = 0 \). Запишите квадратное уравнение, корнями которого были бы числа \( \frac{1}{x_1} \) и \( \frac{1}{x_2} \).



  1. По теореме Виета для данного уравнения: \( x_1 + x_2 = -2 \) и \( x_1 x_2 = -11 \).

  2. Пусть новые корни \( y_1 = \frac{1}{x_1} \) и \( y_2 = \frac{1}{x_2} \).

  3. Найдем сумму новых корней:

  4. \( y_1 + y_2 = \frac{1}{x_1} + \frac{1}{x_2} = \frac{x_2 + x_1}{x_1 x_2} = \frac{-2}{-11} = \frac{2}{11} \).

  5. Найдем произведение новых корней:

  6. \( y_1 y_2 = \frac{1}{x_1} \cdot \frac{1}{x_2} = \frac{1}{x_1 x_2} = \frac{1}{-11} = -\frac{1}{11} \).

  7. Квадратное уравнение с корнями \( y_1 \) и \( y_2 \) имеет вид: \( y^2 - (y_1 + y_2)y + y_1 y_2 = 0 \).

  8. Подставим найденные значения: \( y^2 - \frac{2}{11}y - \frac{1}{11} = 0 \).

  9. Умножим все члены на 11, чтобы избавиться от дробей: \( 11y^2 - 2y - 1 = 0 \).


Ответ: \( 11y^2 - 2y - 1 = 0 \).



2. Упростите выражение:


\( \left( y + 1 + \frac{1}{y - 1} \right) : \frac{y^2}{1 - 2y + y^2} \)



  1. Сначала упростим выражение в первой скобке:

  2. \( y + 1 + \frac{1}{y - 1} = \frac{(y+1)(y-1)}{y-1} + \frac{1}{y-1} = \frac{y^2 - 1 + 1}{y - 1} = \frac{y^2}{y - 1} \).

  3. Знаменатель второй дроби: \( 1 - 2y + y^2 = (y - 1)^2 \).

  4. Теперь подставим упрощённые выражения в исходное:

  5. \( \frac{y^2}{y - 1} : \frac{y^2}{(y - 1)^2} \)

  6. Деление на дробь заменяем умножением на обратную дробь:

  7. \( \frac{y^2}{y - 1} \cdot \frac{(y - 1)^2}{y^2} \)

  8. Сокращаем \( y^2 \) и \( (y - 1) \):

  9. \( y - 1 \).


Ответ: \( y - 1 \).



Желаем успеха!

📄 Все ответы📸 Решить моё задание