Контрольные задания
Вопрос:

Часть 1. Модуль «Алгебра» 1. Найдите значение выражения 0,3√49 - √0,36. Ответ: ____ 2. Укажите решение системы неравенств {4-x<0 x>9, 4-x≥0 1) 9 2) 9 3) 4) 3. Вычислить 5-3.5-9 / 5-11. Ответ: ____ 4. Найдите корни уравнения x² - 5x - 14 = 0. Ответ: ____ 5. Упростить и найти 2x-2y / y * x²-y² / y². значение при у=0 значение при у=0 No ответ балл зад 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 Модуль «Геометрия» 6. Найдите угол ADC равнобедренной трапеции ABCD, если диагональ АС образует с основанием ВС и боковой стороной АВ углы, равные 30° и 40° соответственно. Ответ: ____ 7. Пожарную лестницу длиной 13 м приставили к окну пятого этажа дома. Нижний конец лестницы отстоит от стены на 5 м. На какой высоте расположено окно? Ответ дайте в метрах Ответ: ____ 8. Какие из данных утверждений верны? Запишите их номера. 1) Каждая из биссектрис равнобедренного треугольника является его медианой. 2) Диагонали прямоугольника равны. 3) У любой трапеции боковые стороны равны. Ответ: ____ 2 часть 9. (2 балла) Решите неравенство: 5 - 4(x - 2) < 22 - x 10. (2 балла) Моторная лодка прошла против течения реки 77 км и вернулась в пункт отправления, затратив на обратный путь на 2 часа меньше, чем на путь против течения. Найдите скорость лодки в неподвижной воде, если скорость течения реки равна 4 км/ч. 11. (2 балла) В 24 м одна от другой растут две сосны. Высота одной 30 м, а другой — 12 м. Найдите расстояние (в метрах) между их верхушками.

Фото задания: Часть 1. Модуль «Алгебра» 1. Найдите значение выражения 0,3√49 - √0,36. Ответ: ____ 2. Укажите решение системы неравенств…Фото задания

Ответ:

1. Найдите значение выражения

\( 0,3\sqrt{49} - \sqrt{0,36} \)

  1. \( \sqrt{49} = 7 \)
  2. \( \sqrt{0,36} = 0,6 \)
  3. \( 0,3 \cdot 7 - 0,6 = 2,1 - 0,6 = 1,5 \)

Ответ: 1,5

2. Укажите решение системы неравенств

Система неравенств:

\( \begin{cases} 4 - x < 0 \\ x > 9 \\ 4 - x \ge 0 \end{cases} \)

Решим каждое неравенство по отдельности:

  1. \( 4 - x < 0 \Rightarrow 4 < x \Rightarrow x > 4 \)
  2. \( x > 9 \)
  3. \( 4 - x \ge 0 \Rightarrow 4 \ge x \Rightarrow x \le 4 \)

Пересечение решений:

\( x > 4 \), \( x > 9 \) и \( x \le 4 \). Нет общего решения для всех трех неравенств.

Проверим представленные на рисунке варианты:

1) \( x < 9 \). Это может быть частью решения.

2) \( x ≥ 9 \). Это может быть частью решения.

3) \( 4 \)

4) \( 9 \)

Если предположить, что система неравенств имеет вид:

\( \begin{cases} 4 - x < 0 \\ x > 9 \end{cases} \)

Тогда \( x > 4 \) и \( x > 9 \), пересечение \( x > 9 \).

Если предположить, что система неравенств имеет вид:

\( \begin{cases} x > 9 \\ x ≥ 4 \end{cases} \)

Тогда пересечение \( x > 9 \).

Если предположить, что система неравенств имеет вид:

\( \begin{cases} x > 9 \\ 4 - x \le 0 \end{cases} \)

Тогда \( x > 9 \) и \( x ≥ 4 \), пересечение \( x > 9 \).

Если предположить, что система неравенств имеет вид:

\( \begin{cases} x > 9 \\ 4-x ≥ 0 → x ≤ 4 \end{cases} \)

Тогда \( x > 9 \) и \( x ≤ 4 \), нет решения.

Исходя из рисунков, наиболее вероятно, что система была:

\( \begin{cases} x > 4 \\ x < 9 \end{cases} \)

Тогда решение было бы \( 4 < x < 9 \).

На рисунке 1 показан интервал \( (- \infty, 9) \).

На рисунке 2 показан интервал \( [9, + \infty) \).

Если бы система была \( \begin{cases} x > 4 \\ x < 9 \end{cases} \), то это соответствовало бы интервалу \( (4, 9) \), который не представлен.

Если система была \( \begin{cases} x < 4 \\ x > 9 \end{cases} \), то нет решения.

Предположим, что исходная система была:

\( \begin{cases} x < 9 \\ x \ge 4 \end{cases} \)

Тогда решение \( 4 \le x < 9 \).

Если посмотреть на рисунок 1, он представляет \( x < 9 \). Если посмотреть на рисунок 2, он представляет \( x ≥ 9 \).

Если система была \( \begin{cases} 4-x < 0 → x > 4 \\ x > 9 → x > 9 \end{cases} \), то решение \( x > 9 \).

Если система была \( \begin{cases} 4-x ≥ 0 → x ≤ 4 \\ x < 9 → x < 9 \end{cases} \), то решение \( x ≤ 4 \).

Учитывая, что на рисунке 1 заштрихована область до 9, а на рисунке 2 — от 9 и далее, и присутствует знак \( \ge \), то наиболее вероятный вариант соответствует рисунку 2, где \( x \ge 9 \).

Ответ: 2

3. Вычислить

\( \frac{5^{-3} \cdot 5^{-9}}{5^{-11}} \)

  1. \( 5^{-3} \cdot 5^{-9} = 5^{-3 + (-9)} = 5^{-12} \)
  2. \( \frac{5^{-12}}{5^{-11}} = 5^{-12 - (-11)} = 5^{-12 + 11} = 5^{-1} \)
  3. \( 5^{-1} = \frac{1}{5} \)

Ответ: \( \frac{1}{5} \)

4. Найдите корни уравнения

\( x^2 - 5x - 14 = 0 \)

Используем дискриминант:

  1. \( a = 1, b = -5, c = -14 \)
  2. \( D = b^2 - 4ac = (-5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-14) = 25 + 56 = 81 \)
  3. \( \sqrt{D} = \sqrt{81} = 9 \)
  4. \( x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{5 + 9}{2 \cdot 1} = \frac{14}{2} = 7 \)
  5. \( x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{5 - 9}{2 \cdot 1} = \frac{-4}{2} = -2 \)

Ответ: 7, -2

5. Упростить и найти значение выражения

\( \frac{2x - 2y}{y} \cdot \frac{x^2 - y^2}{y^2} \)

  1. Вынесем общий множитель \( 2 \) из числителя первой дроби: \( 2(x - y) \).
  2. Разложим числитель второй дроби как разность квадратов: \( x^2 - y^2 = (x - y)(x + y) \).
  3. Подставим полученные выражения: \( \frac{2(x - y)}{y} \cdot \frac{(x - y)(x + y)}{y^2} \).
  4. Перемножим дроби: \( \frac{2(x - y)^2(x + y)}{y^3} \).

Найдем значение при \( y = 0 \). Выражение не определено, так как знаменатель обращается в ноль.

Ответ: \( \frac{2(x - y)^2(x + y)}{y^3} \) (не определено при \( y = 0 \))

6. Найдите угол ADC

Дан равнобедренная трапеция \( ABCD \), где \( AB \) — боковая сторона. Диагональ \( AC \) образует с \( BC \) угол \( \angle ACB = 30^{\circ} \), а с \( AB \) угол \( \angle BAC = 40^{\circ} \).

В равнобедренной трапеции углы при основании равны, \( AD \parallel BC \). Также \( AB = CD \).

\( \angle BAC = 40^{\circ} \) и \( \angle ACD = 40^{\circ} \) (как накрест лежащие при \( AD \parallel BC \) и секущей \( AC \)).

В \( \triangle ABC \) сумма углов равна \( 180^{\circ} \): \( \angle ABC + \angle BCA + \angle BAC = 180^{\circ} \). Нам неизвестен \( \angle ABC \).

Рассмотрим \( \triangle ADC \). Углы при основании \( AD \) и \( BC \) равны.

\( \angle BCD = \angle ABC \). \( \angle ADC = \angle DAB \).

В \( \triangle ABC \): \( \angle ABC = 180^{\circ} - \angle BCA - \angle BAC = 180^{\circ} - 30^{\circ} - 40^{\circ} = 110^{\circ} \).

Так как трапеция равнобедренная, \( \angle BCD = \angle ABC = 110^{\circ} \). Но это невозможно, так как в трапеции сумма углов, прилежащих к одной боковой стороне, равна \( 180^{\circ} \). Значит, \( \angle ABC \) и \( \angle BCD \) — углы при боковой стороне.

\( \angle DAB + \angle ABC = 180^{\circ} \) и \( \angle ADC + \angle BCD = 180^{\circ} \).

Углы при основании \( BC \) и \( AD \) равны.

\( \angle ABC = \angle DCB \) и \( \angle DAB = \angle CDA \).

\( \angle BCA = 30^{\circ} \), \( \angle ACD = 40^{\circ} \) (если \( AC \) — диагональ).

\( \angle BCD = \angle BCA + \angle ACD = 30^{\circ} + 40^{\circ} = 70^{\circ} \).

Поскольку трапеция равнобедренная, \( \angle ABC = \angle BCD = 70^{\circ} \). Это тоже невозможно, так как сумма углов при одной боковой стороне должна быть \( 180^{\circ} \).

Давайте перечитаем условие: \( AC \) образует с \( BC \) угол \( 30^{\circ} \) и с \( AB \) угол \( 40^{\circ} \).

\( \angle ACB = 30^{\circ} \) и \( \angle BAC = 40^{\circ} \).

В \( \triangle ABC \): \( \angle ABC = 180^{\circ} - 30^{\circ} - 40^{\circ} = 110^{\circ} \).

Так как трапеция равнобедренная, \( AB = CD \). Углы при основании \( BC \) и \( AD \) равны.

\( \angle ABC = \angle BCD = 110^{\circ} \). Это невозможно, так как сумма углов при боковой стороне \( AB \) должна быть \( 180^{\circ} \).

Углы при основании \( BC \) равны \( \angle ABC = \angle DCB \). Углы при основании \( AD \) равны \( \angle DAB = \angle CDA \).

\( \angle ACB = 30^{\circ} \), \( \angle BAC = 40^{\circ} \). Это углы внутри \( \triangle ABC \).

\( \angle BCD = \angle BCA + \angle ACD = 30^{\circ} + \angle ACD \).

\( \angle DAB = \angle DAC + \angle CAB = \angle DAC + 40^{\circ} \).

Так как \( AD ∥ BC \), то \( \angle DAC = \angle ACB = 30^{\circ} \) (накрест лежащие).

Тогда \( \angle DAB = 30^{\circ} + 40^{\circ} = 70^{\circ} \).

В равнобедренной трапеции углы при основании равны, значит \( \angle ADC = \angle DAB = 70^{\circ} \).

Проверим: \( \angle BCD = \angle ABC \). \( \angle BCD = \angle BCA + \angle ACD = 30^{\circ} + \angle ACD \). \( \angle ABC = 180^{\circ} - \angle DAB = 180^{\circ} - 70^{\circ} = 110^{\circ} \).

\( 30^{\circ} + \angle ACD = 110^{\circ} \Rightarrow \angle ACD = 80^{\circ} \).

В \( \triangle ADC \): \( \angle DAC = 30^{\circ} \), \( \angle ACD = 80^{\circ} \).

\( \angle ADC = 180^{\circ} - 30^{\circ} - 80^{\circ} = 70^{\circ} \). Это соответствует \( \angle DAB \).

Ответ \( \angle ADC = 70^{\circ} \).

Ответ: 70°

7. Пожарную лестницу длиной 13 м приставили к окну пятого этажа дома. Нижний конец лестницы отстоит от стены на 5 м. На какой высоте расположено окно?

Эта задача решается с помощью теоремы Пифагора. Лестница, стена дома и земля образуют прямоугольный треугольник.

Гипотенуза \( c = 13 \) м (длина лестницы).

Один катет \( a = 5 \) м (расстояние от стены до нижнего конца лестницы).

Другой катет \( b \) — высота окна, которую нужно найти.

По теореме Пифагора: \( a^2 + b^2 = c^2 \)

  1. \( 5^2 + b^2 = 13^2 \)
  2. \( 25 + b^2 = 169 \)
  3. \( b^2 = 169 - 25 \)
  4. \( b^2 = 144 \)
  5. \( b = \sqrt{144} \)
  6. \( b = 12 \) м

Ответ: 12 м

8. Какие из данных утверждений верны?

  1. Каждая из биссектрис равнобедренного треугольника является его медианой. Верно. В равнобедренном треугольнике биссектриса, проведенная к основанию, является также медианой и высотой. Если биссектриса проведена к боковой стороне, она не обязательно является медианой. Однако, в условии сказано "каждая из биссектрис", что может трактоваться как "любая из биссектрис". Если же имеется в виду "любая биссектриса", то утверждение неверно. Традиционно, имеется в виду биссектриса, проведенная к основанию.
  2. Диагонали прямоугольника равны. Верно.
  3. У любой трапеции боковые стороны равны. Неверно. Только у равнобедренной трапеции боковые стороны равны.

Ответ: 1, 2

9. Решите неравенство

\( 5 - 4(x - 2) < 22 - x \)

  1. Раскроем скобки: \( 5 - 4x + 8 < 22 - x \)
  2. Приведем подобные слагаемые в левой части: \( 13 - 4x < 22 - x \)
  3. Перенесем члены с \( x \) в правую часть, а числа — в левую: \( 13 - 22 < -x + 4x \)
  4. \( -9 < 3x \)
  5. Разделим обе части на \( 3 \) (положительное число, знак неравенства не меняется): \( \frac{-9}{3} < x \)
  6. \( -3 < x \)

Ответ: \( x > -3 \)

10. Моторная лодка прошла против течения реки 77 км и вернулась в пункт отправления, затратив на обратный путь на 2 часа меньше, чем на путь против течения. Найдите скорость лодки в неподвижной воде, если скорость течения реки равна 4 км/ч.

Пусть \( v \) — скорость лодки в неподвижной воде (км/ч).

Скорость течения реки \( u = 4 \) км/ч.

Скорость лодки по течению: \( v + u = v + 4 \) км/ч.

Скорость лодки против течения: \( v - u = v - 4 \) км/ч.

Время в пути против течения: \( t_1 = \frac{77}{v - 4} \) ч.

Время в пути по течению: \( t_2 = \frac{77}{v + 4} \) ч.

По условию, на обратный путь (по течению) лодка затратила на 2 часа меньше, чем против течения: \( t_2 = t_1 - 2 \).

\( \frac{77}{v + 4} = \frac{77}{v - 4} - 2 \)

Умножим все члены уравнения на \( (v + 4)(v - 4) = v^2 - 16 \) (при условии, что \( v > 4 \)):

\( 77(v - 4) = 77(v + 4) - 2(v^2 - 16) \)

\( 77v - 308 = 77v + 308 - 2v^2 + 32 \)

\( 77v - 308 = 77v + 340 - 2v^2 \)

\( -308 = 340 - 2v^2 \)

\( 2v^2 = 340 + 308 \)

\( 2v^2 = 648 \)

\( v^2 = \frac{648}{2} \)

\( v^2 = 324 \)

\( v = \sqrt{324} \)

\( v = 18 \) км/ч.

Проверим условие \( v > 4 \): \( 18 > 4 \), условие выполняется.

Ответ: 18 км/ч

11. В 24 м одна от другой растут две сосны. Высота одной 30 м, а другой — 12 м. Найдите расстояние (в метрах) между их верхушками.

Эту задачу можно решить с помощью теоремы Пифагора, построив прямоугольный треугольник.

Представим, что мы проводим горизонтальную линию от верхушки меньшей сосны к стволу большей. Это будет один катет прямоугольного треугольника.

Длина этого катета равна расстоянию между соснами: \( a = 24 \) м.

Разница в высоте сосен будет вторым катетом: \( b = 30 - 12 = 18 \) м.

Расстояние между верхушками сосен будет гипотенузой \( c \) этого треугольника.

По теореме Пифагора: \( c^2 = a^2 + b^2 \)

  1. \( c^2 = 24^2 + 18^2 \)
  2. \( c^2 = 576 + 324 \)
  3. \( c^2 = 900 \)
  4. \( c = \sqrt{900} \)
  5. \( c = 30 \) м

Ответ: 30 м