1. CDEK – квадрат со стороной, равной 2 см. BD ⊥ (CDE). Найдите расстояние от точки В до плоскости CDE, если BK = √72 см.

Т.к. CDEK - квадрат, то все его стороны равны 2 см.

Тогда CD = DE = EK = KC = 2 см.

Т.к. BD ⊥ (CDE), то BD перпендикулярна любой прямой, лежащей в плоскости CDE.

Тогда ΔBDE - прямоугольный, и DE - катет, BD - катет, BE - гипотенуза.

По теореме Пифагора: BE² = BD² + DE².

По условию BK = √72 см.

Тогда BK² = 72 см.

Рассмотрим ΔBDE.

Т.к. DE = 2 см, то DE² = 4 см.

Тогда BD² = BK² - DE² = 72 - 4 = 68.

BD = √68 = √(4 * 17) = 2√17 см.

Т.к. BD ⊥ (CDE), то BD - расстояние от точки B до плоскости CDE.

Рассмотрим ΔBKD - прямоугольный, KD - катет, BK - гипотенуза.

Тогда BD² + KD² = BK².

По условию BK = √72, тогда BK² = 72.

BD² + KD² = 72.

Рассмотрим квадрат CDEK, DK - диагональ, т.к. CDEK - квадрат, то CD = DE = EK = KC = 2 см.

Тогда DK = √(CD² + CK²) = √(4 + 4) = √8 = 2√2 см.

Тогда BD² = BK² - DK² = 72 - 8 = 64.

BD = √64 = 8 см.

Рассмотрим ΔBDC - прямоугольный, DC = 2 см, BD = 8 см, BC - гипотенуза.

Тогда BC² = BD² + DC² = 64 + 4 = 68.

BC = √68 = √(4 * 17) = 2√17 см.

Но по условию BD ⊥ (CDE), тогда BD - расстояние от точки B до плоскости CDE.

Проверим вариант б) 6 см.

Тогда BD = 6 см.

Тогда BD² = 36 см.

Рассмотрим ΔBDK - прямоугольный, т.к. BD ⊥ (CDE), KD - катет, DK - диагональ квадрата, DK = 2√2.

Тогда KD² = 8 см.

BK² = BD² + DK² = 36 + 8 = 44.

BK = √44, но по условию BK = √72 см. Следовательно, вариант б) не подходит.

Проверим вариант в) 8 см.

Тогда BD = 8 см.

Тогда BD² = 64 см.

BK² = BD² + DK² = 64 + 8 = 72.

BK = √72 см. Следовательно, вариант в) подходит.