Calculate the square root of 98 * 80 * 15.

Решение:

• Для вычисления квадратного корня из произведения, сначала перемножим числа под корнем:
• \[ 98 \times 80 \times 15 = 98 \times 1200 \]
• \[ 98 \times 1200 = 117600 \]
• Теперь найдем квадратный корень из 117600.
• Разложим число на множители, чтобы упростить извлечение корня:
• \[ 117600 = 1176 \times 100 = 1176 \times 10^2 \]
• Найдем множители для 1176:
• \[ 1176 = 2 \times 588 = 2 \times 2 \times 294 = 2 \times 2 \times 2 \times 147 = 2^3 \times 3 \times 49 = 2^3 \times 3 \times 7^2 \]
• Таким образом, \[ 117600 = 2^3 \times 3 \times 7^2 \times 10^2 \]
• Заметим, что 10^2 = (2*5)^2 = 2^2 * 5^2.
• \[ 117600 = 2^3 \times 3 \times 7^2 \times 2^2 \times 5^2 = 2^5 \times 3 \times 5^2 \times 7^2 \]
• Извлечем квадратный корень:
• \[ \sqrt{117600} = \sqrt{2^5 \times 3 \times 5^2 \times 7^2} = \sqrt{2^4 \times 2 \times 3 \times 5^2 \times 7^2} \]
• \[ = 2^2 \times 5 \times 7 \sqrt{2 \times 3} = 4 \times 5 \times 7 \sqrt{6} = 140\sqrt{6} \]
• Альтернативный подход: разложим числа под корнем на простые множители до умножения.
• \[ \sqrt{98 \times 80 \times 15} = \sqrt{(2 \times 7^2) \times (2^4 \times 5) \times (3 \times 5)} \]
• \[ = \sqrt{2 \times 7^2 \times 2^4 \times 5 \times 3 \times 5} = \sqrt{2^{1+4} \times 3 \times 5^{1+1} \times 7^2} = \sqrt{2^5 \times 3 \times 5^2 \times 7^2} \]
• \[ = \sqrt{2^4 \times 2 \times 3 \times 5^2 \times 7^2} = 2^{4/2} \times 5^{2/2} \times 7^{2/2} \times \sqrt{2 \times 3} \]
• \[ = 2^2 \times 5 \times 7 \sqrt{6} = 4 \times 5 \times 7 \sqrt{6} = 140\sqrt{6} \]

Ответ: $$140\sqrt{6}$$