Calculate the following expression: \(\frac{7}{30} + \frac{8}{9} : \left(\frac{4}{3} - \frac{7}{22}\right) - \frac{1}{6}\)

Решение:

Для решения данного примера необходимо выполнить действия в следующем порядке: сначала действия в скобках, затем деление, после этого сложение и вычитание.

1. Вычислим разность в скобках:

\[ \frac{4}{3} - \frac{7}{22} = \frac{4 \cdot 22 - 7 \cdot 3}{3 \cdot 22} = \frac{88 - 21}{66} = \frac{67}{66} \]

2. Выполним деление:

\[ \frac{8}{9} : \frac{67}{66} = \frac{8}{9} \cdot \frac{66}{67} = \frac{8 \cdot 22}{3 \cdot 67} = \frac{176}{201} \]

3. Выполним сложение:

\[ \frac{7}{30} + \frac{176}{201} \]

Найдем общий знаменатель для 30 и 201. Разложим на множители: \( 30 = 2 \cdot 3 \cdot 5 \), \( 201 = 3 \cdot 67 \). Общий знаменатель равен \( 2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 67 = 670 \).

\[ \frac{7 \cdot (2 \cdot 67)}{30 \cdot (2 \cdot 67)} + \frac{176 \cdot 10}{201 \cdot 10} = \frac{7 \cdot 134}{2010} + \frac{1760}{2010} = \frac{938 + 1760}{2010} = \frac{2698}{2010} \]

Сократим дробь, разделив числитель и знаменатель на 2: \( \frac{1349}{1005} \).

4. Выполним вычитание:

\[ \frac{1349}{1005} - \frac{1}{6} \]

Найдем общий знаменатель для 1005 и 6. \( 1005 = 3 \cdot 5 \cdot 67 \), \( 6 = 2 \cdot 3 \). Общий знаменатель равен \( 2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 67 = 2010 \).

\[ \frac{1349 \cdot 2}{1005 \cdot 2} - \frac{1 \cdot 335}{6 \cdot 335} = \frac{2698}{2010} - \frac{335}{2010} = \frac{2698 - 335}{2010} = \frac{2363}{2010} \]

Ответ: \( \frac{2363}{2010} \).