Calculate the following expression: (((1 - 1/4) + (1 - 1/5) + (1 - 1/6) + (1 - 1/7) + (1 - 1/8)) = ?

Решение:

Раскроем скобки и приведём к общему знаменателю:

1. \( (1 - \frac{1}{4}) + (1 - \frac{1}{5}) + (1 - \frac{1}{6}) + (1 - \frac{1}{7}) + (1 - \frac{1}{8}) \)
2. \( = 1 - \frac{1}{4} + 1 - \frac{1}{5} + 1 - \frac{1}{6} + 1 - \frac{1}{7} + 1 - \frac{1}{8} \)
3. \( = (1+1+1+1+1) - (\frac{1}{4} + \frac{1}{5} + \frac{1}{6} + \frac{1}{7} + \frac{1}{8}) \)
4. \( = 5 - (\frac{1}{4} + \frac{1}{5} + \frac{1}{6} + \frac{1}{7} + \frac{1}{8}) \)
5. Найдём общий знаменатель для дробей \( 4, 5, 6, 7, 8 \). Наименьшее общее кратное равно \( 840 \).
6. \( \frac{1}{4} = \frac{1 \times 210}{4 \times 210} = \frac{210}{840} \)
7. \( \frac{1}{5} = \frac{1 \times 168}{5 \times 168} = \frac{168}{840} \)
8. \( \frac{1}{6} = \frac{1 \times 140}{6 \times 140} = \frac{140}{840} \)
9. \( \frac{1}{7} = \frac{1 \times 120}{7 \times 120} = \frac{120}{840} \)
10. \( \frac{1}{8} = \frac{1 \times 105}{8 \times 105} = \frac{105}{840} \)
11. Сложим дроби: \( \frac{210 + 168 + 140 + 120 + 105}{840} = \frac{743}{840} \)
12. Теперь вычтем из 5: \( 5 - \frac{743}{840} = \frac{5 \times 840}{840} - \frac{743}{840} = \frac{4200 - 743}{840} = \frac{3457}{840} \)

Ответ: \( \frac{3457}{840} \).