C1. Стальной осколок, падая с высоты 470м, нагрелся на 0.5°С в результате совершения работы сил сопротивления воздуха. Чему равна скорость осколка у поверхности земли? Удельная теплоемкость стали 460Дж/кг °С

Решение:

В данном случае работа сил сопротивления воздуха переходит во внутреннюю энергию осколка (нагревание). По условию, вся работа сил сопротивления воздуха пошла на нагрев осколка.

Используем формулу для количества теплоты:

\( Q = c \cdot m \cdot \Delta T \)

Где:

• \( Q \) — количество теплоты (равное работе сил сопротивления);
• \( c \) — удельная теплоемкость стали (\( 460 \) Дж/(кг·°С));
• \( m \) — масса осколка (не дана, поэтому решение будет выражено через массу);
• \( \Delta T \) — изменение температуры (\( 0.5 \) °С).

Работа \( A \) сил сопротивления равна количеству теплоты \( Q \):

\( A = Q = c \cdot m \cdot \Delta T = 460 \frac{Дж}{кг \cdot °С} \cdot m \cdot 0.5 \space °С = 230 \cdot m \space Дж \)

Предполагая, что до падения осколок был в покое (начальная скорость \( v_0 = 0 \)), его кинетическая энергия у поверхности земли \( K \) равна работе, совершенной над ним (включая работу сил сопротивления), если пренебречь работой силы тяжести, которая превратилась в кинетическую энергию. Но здесь работа сил сопротивления перешла в теплоту.

Рассмотрим закон сохранения энергии. Начальная потенциальная энергия \( E_p_{нач} \) превращается в кинетическую энергию \( E_k_{кон} \) у поверхности земли и в теплоту \( Q \) из-за сопротивления воздуха.

\( E_p_{нач} = E_k_{кон} + Q \)

\( mgh = \frac{mv^2}{2} + cm \Delta T \)

Разделим обе части на \( m \):

\( gh = \frac{v^2}{2} + c \Delta T \)

Выразим \( v^2 \):

\( \frac{v^2}{2} = gh - c \Delta T \)

\( v^2 = 2(gh - c \Delta T) \)

\( v = \sqrt{2(gh - c \Delta T)} \)

Подставим известные значения:

• \( g \approx 9.8 \space м/с^2 \) (ускорение свободного падения)
• \( h = 470 \space м \)
• \( c = 460 \space Дж/(кг · °С) \)
• \( \Delta T = 0.5 \space °С \)

\( v = \sqrt{2(9.8 \frac{м}{с^2} \cdot 470 м - 460 \frac{Дж}{кг · °С} \cdot 0.5 °С)} \)

\( v = \sqrt{2(4606 - 230)} \)

\( v = \sqrt{2(4376)} \)

\( v = \sqrt{8752} \approx 93.55 \space м/с \)

Ответ: Скорость осколка у поверхности земли составляет приблизительно 93.55 м/с.