C-22 1. Из точки А к некоторой прямой проведены перпендику- ляр АВ и наклонная АС, а из точки D — наклонная DE так, что отрезки DE и АВ пересекаются в точке O, OD = = OB, ZOAD + ∠BOE = 90°. Сравните отрезки АС и DE. 2. В треугольнике АВС ∠A = 70°, ∠B = 80°, BE биссект- риса. Через точку Е проведена прямая а, параллельная BC, EC = x. а) Найдите расстояние между прямыми а и ВС. б) Найдите расстояние от точки Е до прямой АВ.

Ответ: смотри решение

1. а) Расстояние между прямыми а и ВС равно 0, т.к. прямая a параллельна BC и проходит через точку E, лежащую на стороне BC.

2. б) Найдем расстояние от точки Е до прямой АВ.

   • Т.к. ВЕ - биссектриса, то ∠ABE = ∠CBE = 80°/2 = 40°
   • Сумма углов треугольника равна 180°, следовательно ∠C = 180° - ∠A - ∠B = 180° - 70° - 80° = 30°
   • Проведем высоту EH на сторону AB. Расстояние от точки E до прямой AB - это длина EH.
   • В треугольнике BHE: ∠BEH = 90° - ∠EBH = 90° - 40° = 50°
   • Рассмотрим треугольник BEC. Т.к. прямая a || BC, точка E лежит на BC, то расстояние от E до BC = 0

   Из условия EC = x.

3. По теореме синусов для треугольника BEC:
\[\frac{EC}{\sin{\angle EBC}} = \frac{BE}{\sin{\angle BCE}}\] \[\frac{x}{\sin{40^{\circ}}} = \frac{BE}{\sin{30^{\circ}}}\] \[BE = \frac{x \cdot \sin{30^{\circ}}}{\sin{40^{\circ}}}\] \[BE = \frac{x \cdot 0.5}{\sin{40^{\circ}}}\]
4. В треугольнике BEH:
\[\sin{\angle EBH} = \frac{EH}{BE}\] \[\sin{40^{\circ}} = \frac{EH}{\frac{0.5x}{\sin{40^{\circ}}}}\] \[EH = \sin{40^{\circ}} \cdot \frac{0.5x}{\sin{40^{\circ}}}\] \[EH = 0.5x\]

Ответ:

• а) 0
• б) 0.5x

Ответ: смотри решение