C-18. 1. В треугольнике ABC BD — медиана, \(\angle\) ABD < \(\angle\) BAC + \(\angle\) BCA. Докажите, что BD > 0,5BC. 2. Дан треугольник ABC. Прямая CD параллельна биссектрисе внешнего угла треугольника при вершине B и пересекает сторону AB в точке D. Из точки D к прямой BC проведен перпендикуляр DK. Сравните отрезки DK и BC.

Решение:

1. 1. Доказательство:
   BD — медиана, значит, D — середина AC, \( AD = DC = 0,5 BC \).
   По условию \( \angle ABD < \angle BAC + \angle BCA \).
   В \( \triangle ABC \) сумма углов равна \( 180^{\circ} \), т.е. \( \angle BAC + \angle BCA + \angle ABC = 180^{\circ} \).
   Тогда \( \angle BAC + \angle BCA = 180^{\circ} - \angle ABC \).
   Подставляем в условие: \( \angle ABD < 180^{\circ} - \angle ABC \).
   Так как \( \angle ABC = \angle ABD + \angle DBC \), то \( \angle ABD < 180^{\circ} - (\angle ABD + \angle DBC) \).
   \( \angle ABD < 180^{\circ} - \angle ABD - \angle DBC \).
   \( 2 \angle ABD < 180^{\circ} - \angle DBC \).
   Для полного доказательства BD > 0,5BC требуется больше информации или теорем.
2. 2. Сравнение отрезков DK и BC:
   CD — биссектриса внешнего угла при вершине B. Значит, \( \angle BCD = \angle DCF \) (где F — точка на продолжении AB).
   По условию CD \( \parallel \) биссектрисе внешнего угла. Из этого следует, что CD \( \parallel \) биссектрисе внешнего угла, что не дает конкретной информации для дальнейшего решения.
   DK \( \perp \) BC, следовательно, DK — высота треугольника DBC.
   Для сравнения DK и BC недостаточно данных.