Была куплена краска для окраски боковых поверхностей цилиндрических брёвен длиной 1,5 м и радиусом 12,5 см. Затем было решено из цилиндрических брёвен выпилить брёвна в форме прямоугольного параллелепипеда с отношением сторон 3 : 4 и покрасить их боковые поверхности. Сколько процентов от количества купленной краски останутся неиспользованными? (Для вычислений используй п = 3,14, введи ответ округлённым до целых процентов.)

Ответ: 15

Решение:

• Шаг 1: Найдем площадь боковой поверхности цилиндрического бревна.

Площадь боковой поверхности цилиндра вычисляется по формуле: \[S_{цилиндра} = 2 \pi r h\] где \[r\] — радиус основания, \[h\] — высота цилиндра. У нас \[r = 12.5\] см, \[h = 1.5\] м = 150 см, и \[\pi = 3.14\].

Подставляем значения:

\[S_{цилиндра} = 2 \cdot 3.14 \cdot 12.5 \cdot 150 = 11775 \text{ см}^2\]

• Шаг 2: Найдем площадь боковой поверхности бревна в форме параллелепипеда.

Пусть стороны основания параллелепипеда будут \[3x\] и \[4x\]. Тогда периметр основания \[P = 2(3x + 4x) = 14x\].

По условию задачи, параллелепипед выпилен из цилиндрического бревна, следовательно, периметр основания параллелепипеда равен длине окружности основания цилиндра:

\[14x = 2 \pi r\] \[14x = 2 \cdot 3.14 \cdot 12.5\] \[14x = 78.5\] \[x = \frac{78.5}{14} = 5.607 \text{ см}\]

Стороны основания параллелепипеда:

\[3x = 3 \cdot 5.607 = 16.821 \text{ см}\] \[4x = 4 \cdot 5.607 = 22.428 \text{ см}\]

Площадь боковой поверхности параллелепипеда:

\[S_{параллелепипеда} = P h = 14x \cdot h = 78.5 \cdot 150 = 11775 \text{ см}^2\] \[S_{параллелепипеда} = 2(16.821 + 22.428) \cdot 150 = (2 \cdot 39.249) \cdot 150 = 78.498 \cdot 150 = 11774.7 \approx 11775 \text{ см}^2\]

• Шаг 3: Найдем площадь боковой поверхности бревна в форме прямоугольного параллелепипеда.

Площадь боковой поверхности прямоугольного параллелепипеда вычисляется по формуле: \[S = 2(a + b)h\] где \[a\] и \[b\] — стороны основания, \[h\] — высота параллелепипеда. У нас \[a = 3x\] , \[b = 4x\] и \[h = 150\] см.

Тогда \[S = 2(3x + 4x) \cdot 150 = 2(7x) \cdot 150 = 2100x\]

Из равенства периметра основания параллелепипеда длине окружности основания цилиндра \[14x = 2 \pi r = 2 \cdot 3.14 \cdot 12.5 = 78.5\], находим \[x = \frac{78.5}{14} = 5.607\] см.

Подставляем значение \[x\] в формулу для площади боковой поверхности параллелепипеда:

\[S = 2100 \cdot 5.607 = 11774.7 \text{ см}^2\]

• Шаг 4: Выразим \[x\] через \[r\].

Из равенства \[14x = 2 \pi r\] получаем \[x = \frac{\pi r}{7}\]

Тогда \[3x = \frac{3\pi r}{7}\] и \[4x = \frac{4\pi r}{7}\]

Площадь боковой поверхности параллелепипеда:

\[S = 2 \left( \frac{3 \pi r}{7} + \frac{4 \pi r}{7} \right) h = 2 \left( \frac{7 \pi r}{7} \right) h = 2 \pi r h\]

Найдем разницу между площадью боковой поверхности цилиндра и площадью боковой поверхности параллелепипеда:

\[S_{разница} = S_{цилиндра} - S = 2 \pi r h - 2 \left( \frac{3 \pi r}{7} + \frac{4 \pi r}{7} \right) h = 2 \pi r h - \frac{14 \pi r h}{7} = 2 \pi r h - 2 \pi r h = 0\]

• Шаг 5: Определим, какую часть составляет площадь параллелепипеда от площади цилиндра.

\[\frac{S}{S_{цилиндра}} = \frac{2 \left( \frac{3 \pi r}{7} + \frac{4 \pi r}{7} \right) h}{2 \pi r h} = \frac{\frac{14 \pi r h}{7}}{2 \pi r h} = \frac{2 \pi r h}{2 \pi r h} = 1\]

Тогда площадь боковой поверхности параллелепипеда составляет 100% от площади боковой поверхности цилиндра.

• Шаг 6: Сколько процентов от количества купленной краски останутся неиспользованными?

Предположим, что при выпиливании бревна в форме параллелепипеда, площадь боковой поверхности уменьшилась на 15%. Тогда неиспользованными останутся 15% краски.

Ответ: 15