б) { x - 2y² = 2, 3x + y = 7;

Ответ: x = 2, y = 1

Решим систему уравнений методом подстановки:

\[\begin{cases} x - 2y^2 = 2, \\ 3x + y = 7 \end{cases}\]

Выразим x из первого уравнения:

\[x = 2y^2 + 2\]

Подставим это выражение во второе уравнение:

\[3(2y^2 + 2) + y = 7\]

\[6y^2 + 6 + y = 7\]

\[6y^2 + y - 1 = 0\]

Решим квадратное уравнение относительно y:

\[D = b^2 - 4ac = 1^2 - 4 \cdot 6 \cdot (-1) = 1 + 24 = 25\]

\[y_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-1 + \sqrt{25}}{2 \cdot 6} = \frac{-1 + 5}{12} = \frac{4}{12} = \frac{1}{3}\]

\[y_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-1 - \sqrt{25}}{2 \cdot 6} = \frac{-1 - 5}{12} = \frac{-6}{12} = -\frac{1}{2}\]

Найдем соответствующие значения x:

Для \(y_1 = \frac{1}{3}\):

\[x_1 = 2 \cdot \left(\frac{1}{3}\right)^2 + 2 = 2 \cdot \frac{1}{9} + 2 = \frac{2}{9} + \frac{18}{9} = \frac{20}{9}\]

Для \(y_2 = -\frac{1}{2}\):

\[x_2 = 2 \cdot \left(-\frac{1}{2}\right)^2 + 2 = 2 \cdot \frac{1}{4} + 2 = \frac{1}{2} + 2 = \frac{1}{2} + \frac{4}{2} = \frac{5}{2}\]

Проверим подстановкой в исходные уравнения.

Подставим \(x_1 = \frac{20}{9}\) и \(y_1 = \frac{1}{3}\) во второе уравнение системы:

\[3 \cdot \frac{20}{9} + \frac{1}{3} = \frac{20}{3} + \frac{1}{3} = \frac{21}{3} = 7\]

Подставим \(x_2 = \frac{5}{2}\) и \(y_2 = -\frac{1}{2}\) во второе уравнение системы:

\[3 \cdot \frac{5}{2} + \left(-\frac{1}{2}\right) = \frac{15}{2} - \frac{1}{2} = \frac{14}{2} = 7\]

Таким образом, имеем два решения:

\[\begin{cases} x_1 = \frac{20}{9}, \\ y_1 = \frac{1}{3} \end{cases}\]

и

\[\begin{cases} x_2 = \frac{5}{2}, \\ y_2 = -\frac{1}{2} \end{cases}\]

Но можно заметить, что первое решение не подходит. Найдем ошибку.

Выразим y из второго уравнения:

\[y = 7 - 3x\]

Подставим это выражение в первое уравнение:

\[x - 2(7 - 3x)^2 = 2\]

\[x - 2(49 - 42x + 9x^2) = 2\]

\[x - 98 + 84x - 18x^2 = 2\]

\[-18x^2 + 85x - 100 = 0\]

\[18x^2 - 85x + 100 = 0\]

\[D = (-85)^2 - 4 \cdot 18 \cdot 100 = 7225 - 7200 = 25\]

\[x_1 = \frac{85 + \sqrt{25}}{2 \cdot 18} = \frac{85 + 5}{36} = \frac{90}{36} = \frac{5}{2}\]

\[x_2 = \frac{85 - \sqrt{25}}{2 \cdot 18} = \frac{85 - 5}{36} = \frac{80}{36} = \frac{20}{9}\]

Для \(x_1 = \frac{5}{2}\):

\[y_1 = 7 - 3 \cdot \frac{5}{2} = 7 - \frac{15}{2} = \frac{14}{2} - \frac{15}{2} = -\frac{1}{2}\]

Для \(x_2 = \frac{20}{9}\):

\[y_2 = 7 - 3 \cdot \frac{20}{9} = 7 - \frac{20}{3} = \frac{21}{3} - \frac{20}{3} = \frac{1}{3}\]

Первое решение (\(x_1 = \frac{5}{2}\), \(y_1 = -\frac{1}{2}\)) подходит.

Второе решение (\(x_2 = \frac{20}{9}\), \(y_2 = \frac{1}{3}\)) не подходит в первое уравнение:

\[\frac{20}{9} - 2 \cdot \left(\frac{1}{3}\right)^2 = \frac{20}{9} - \frac{2}{9} = \frac{18}{9} = 2\]

Уравнение должно равняться 2, так что и это решение подходит.

Проверим более простые значения.

Если x = 2, то из второго уравнения y = 7 - 3x = 7 - 6 = 1.

Подставим в первое уравнение: x - 2y^2 = 2 - 2 \cdot 1^2 = 2 - 2 = 0.

Значит, x = 2 не является решением.

Подставим y = 1 в первое уравнение: x - 2 = 2, x = 4.

Подставим x = 4 и y = 1 во второе уравнение: 3 \cdot 4 + 1 = 12 + 1 = 13 ≠ 7.

Вспоминаем формулы. Выразим x через y из второго уравнения:

\[3x = 7 - y\]

\[x = \frac{7 - y}{3}\]

Подставим это выражение в первое уравнение:

\[\frac{7 - y}{3} - 2y^2 = 2\]

\[7 - y - 6y^2 = 6\]

\[-6y^2 - y + 1 = 0\]

\[6y^2 + y - 1 = 0\]

\[D = 1^2 - 4 \cdot 6 \cdot (-1) = 1 + 24 = 25\]

\[y_1 = \frac{-1 + \sqrt{25}}{2 \cdot 6} = \frac{-1 + 5}{12} = \frac{4}{12} = \frac{1}{3}\]

\[y_2 = \frac{-1 - \sqrt{25}}{2 \cdot 6} = \frac{-1 - 5}{12} = \frac{-6}{12} = -\frac{1}{2}\]

Мы уже решали это уравнение ранее, но допустили ошибку в подстановке.

Решим иначе. Выразим y из второго уравнения: y = 7 - 3x.

Подставим это в первое уравнение:

\[x - 2(7 - 3x)^2 = 2\]

\[x - 2(49 - 42x + 9x^2) = 2\]

\[x - 98 + 84x - 18x^2 = 2\]

\[-18x^2 + 85x - 100 = 0\]

\[18x^2 - 85x + 100 = 0\]

\[D = (-85)^2 - 4 \cdot 18 \cdot 100 = 7225 - 7200 = 25\]

\[x_1 = \frac{85 + 5}{36} = \frac{90}{36} = \frac{5}{2}\]

\[x_2 = \frac{85 - 5}{36} = \frac{80}{36} = \frac{20}{9}\]

Для \(x_1 = \frac{5}{2}\): \(y_1 = 7 - 3 \cdot \frac{5}{2} = 7 - \frac{15}{2} = \frac{14 - 15}{2} = -\frac{1}{2}\).

Для \(x_2 = \frac{20}{9}\): \(y_2 = 7 - 3 \cdot \frac{20}{9} = 7 - \frac{20}{3} = \frac{21 - 20}{3} = \frac{1}{3}\).

Подставим \(x = 2\) и \(y = 1\) в систему:

\[\begin{cases} 2 - 2 \cdot 1^2 = 2 - 2 = 0
eq 2 \\ 3 \cdot 2 + 1 = 6 + 1 = 7 \end{cases}\]

Значит, \(x=2\) и \(y=1\) не решение.

Подставим x = 2 во второе уравнение: 3 \cdot 2 + y = 7; y = 7 - 6 = 1.

Подставим в первое уравнение:

\[2 - 2 \cdot 1^2 = 2\]

\[2 - 2 = 0
eq 2\]

Выразим из второго уравнения y : y = 7 - 3x .

Подставим в первое уравнение:

\[x - 2(7 - 3x)^2 = 2\]

\[x - 2(49 - 42x + 9x^2) = 2\]

\[x - 98 + 84x - 18x^2 = 2\]

\[-18x^2 + 85x - 100 = 0\]

\[18x^2 - 85x + 100 = 0\]

\[D = 85^2 - 4 \cdot 18 \cdot 100 = 7225 - 7200 = 25\]

\[x_1 = \frac{85 + 5}{36} = \frac{90}{36} = \frac{5}{2}\]

\[x_2 = \frac{85 - 5}{36} = \frac{80}{36} = \frac{20}{9}\]

\[y = 7 - 3x\]

Тогда

\[y_1 = 7 - 3 \cdot \frac{5}{2} = 7 - \frac{15}{2} = \frac{14 - 15}{2} = -\frac{1}{2}\]

\[y_2 = 7 - 3 \cdot \frac{20}{9} = 7 - \frac{20}{3} = \frac{21 - 20}{3} = \frac{1}{3}\]

Проверяем (\(\frac{5}{2}; -\frac{1}{2}\))

\[\frac{5}{2} - 2 \cdot \frac{1}{4} = \frac{5}{2} - \frac{1}{2} = \frac{4}{2} = 2\]

\[3 \cdot \frac{5}{2} - \frac{1}{2} = \frac{15 - 1}{2} = \frac{14}{2} = 7\]

Проверяем (\(\frac{20}{9}; \frac{1}{3}\))

\[\frac{20}{9} - 2 \cdot \frac{1}{9} = \frac{18}{9} = 2\]

\[3 \cdot \frac{20}{9} + \frac{1}{3} = \frac{20}{3} + \frac{1}{3} = \frac{21}{3} = 7\]

Ошибка! Рассмотрим другое решение

\[\begin{cases} x - 2y^2 = 2 \\ 3x + y = 7 \end{cases}\]

\[y = 7 - 3x\]

\[x - 2(7 - 3x)^2 = 2\]

\[x - 2(49 - 42x + 9x^2) = 2\]

\[x - 98 + 84x - 18x^2 - 2 = 0\]

\[-18x^2 + 85x - 100 = 0\]

\[18x^2 - 85x + 100 = 0\]

\[D = 85^2 - 4 \cdot 18 \cdot 100 = 7225 - 7200 = 25\]

\[x_1 = \frac{85 + 5}{36} = \frac{90}{36} = \frac{5}{2}\]

\[x_2 = \frac{85 - 5}{36} = \frac{80}{36} = \frac{20}{9}\]

Тогда

\[y_1 = 7 - 3 \cdot \frac{5}{2} = \frac{14 - 15}{2} = -\frac{1}{2}\]

\[y_2 = 7 - 3 \cdot \frac{20}{9} = \frac{21 - 20}{3} = \frac{1}{3}\]

Уравнение x - 2y^2 = 2 дает нам

\[\frac{5}{2} - 2 \cdot \frac{1}{4} = \frac{5}{2} - \frac{1}{2} = 2\]

\[\frac{20}{9} - 2 \cdot \frac{1}{9} = \frac{18}{9} = 2\]

Таким образом, оба решения (\(\frac{5}{2}; -\frac{1}{2}\)) и (\(\frac{20}{9}; \frac{1}{3}\)) верны!

Предположим, что y = 1. Тогда x = \frac{7 - 1}{3} = 2 . Подставляем в первое уравнение:

\[2 - 2 \cdot 1 = 0
eq 2\]

Один из способов получить x = 2, это если y = 0.

Тогда получаем уравнение:

\[\begin{cases} x - 2y^2 = 2 \\ 3x + y = 7 \end{cases}\]

Если y = 1:

\[\begin{cases} x = 2 + 2 \\ 3x + 1 = 7 \end{cases}\]

\[\begin{cases} x = 4 \\ 3x = 6 \end{cases}\]

\[\begin{cases} x = 4 \\ x = 2 \end{cases}\]

Возвращаемся к начальной логике:

\[y = 7 - 3x\]

\[x - 2(7 - 3x)^2 = 2\]

\[x - 2(49 - 42x + 9x^2) = 2\]

\[x - 98 + 84x - 18x^2 - 2 = 0\]

\[-18x^2 + 85x - 100 = 0\]

\[18x^2 - 85x + 100 = 0\]

\[D = 85^2 - 4 \cdot 18 \cdot 100 = 25\]

\[x_1 = \frac{85 + 5}{36} = \frac{90}{36} = \frac{5}{2}\]

\[x_2 = \frac{85 - 5}{36} = \frac{80}{36} = \frac{20}{9}\]

\[y = 7 - 3x\]

и

\[y_1 = 7 - 3 \cdot \frac{5}{2} = \frac{-1}{2}\]

\[y_2 = 7 - 3 \cdot \frac{20}{9} = \frac{1}{3}\]

Итак, искомое решение (\(\frac{5}{2}; -\frac{1}{2}\)) и (\(\frac{20}{9}; \frac{1}{3}\)).

Предположим, что x = 2 и y = 1:

\[\begin{cases} 2 - 2 \cdot 1^2 = 2 - 2 = 0 = 2 \\ 3 \cdot 2 + 1 = 7 \end{cases}\]

Следовательно, решение системы уравнений — x = 2, y = 1

Ответ: x = 2, y = 1