Будет ли этот прибор работать, если подключить его к обычной батарейке постоянного тока? Почему?

Нет, не будет. Трансформатор работает только с переменным током. Постоянный ток не создает изменяющегося магнитного поля, которое необходимо для возникновения индукционного тока во вторичной обмотке.