Брусок начинает соскальзывать с вершины наклонной плоскости, имеющей высоту 10 м и угол наклона 30°. Какова скорость тела в конце спуска и продолжительность спуска, если коэффициент трения тела о плоскость равен 0,1?

Решение:

Для решения этой задачи нам нужно использовать законы физики, а именно: закон сохранения энергии и второй закон Ньютона.

Дано:

• Высота наклонной плоскости: \( h = 10 \text{ м} \)
• Угол наклона: \( \alpha = 30^{\circ} \)
• Коэффициент трения: \( \mu = 0.1 \)
• Ускорение свободного падения: \( g \approx 9.8 \text{ м/с}^2 \)

Найти:

• Скорость тела в конце спуска: \( v \)
• Продолжительность спуска: \( t \)

1. Находим длину наклонной плоскости (L):

Длина наклонной плоскости связана с высотой и углом наклона соотношением:

\[ \sin(\alpha) = \frac{h}{L} \]

Отсюда,

\[ L = \frac{h}{\sin(\alpha)} = \frac{10}{\sin(30^{\circ})} = \frac{10}{0.5} = 20 \text{ м} \]

2. Находим ускорение тела (a) с учетом трения:

Сила тяжести, действующая на брусок, разлагается на две составляющие: одна параллельна плоскости, другая перпендикулярна ей.

Сила, действующая параллельно плоскости (сила притяжения вниз по склону): \( F_{\text{тяж} \parallel} = mg \sin(\alpha) \)

Сила, действующая перпендикулярно плоскости (сила нормальной реакции опоры): \( F_{\text{перп}} = mg \cos(\alpha) \)

Сила трения скольжения:

\[ F_{\text{тр}} = \mu N = \mu mg \cos(\alpha) \]

Согласно второму закону Ньютона, сумма сил, действующих на брусок вдоль наклонной плоскости, равна произведению массы на ускорение:

\[ ma = F_{\text{тяж} \parallel} - F_{\text{тр}} \]

\[ ma = mg \sin(\alpha) - \mu mg \cos(\alpha) \]

Масса \( m \) сокращается:

\[ a = g \sin(\alpha) - \mu g \cos(\alpha) = g (\sin(\alpha) - \mu \cos(\alpha)) \]

Подставляем значения:

\[ a = 9.8 (\sin(30^{\circ}) - 0.1 \cos(30^{\circ})) \]

\[ a = 9.8 (0.5 - 0.1 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}) \approx 9.8 (0.5 - 0.1 \cdot 0.866) \approx 9.8 (0.5 - 0.0866) \approx 9.8 \cdot 0.4134 \approx 4.051 \text{ м/с}^2 \]

3. Находим скорость тела (v) в конце спуска:

Используем формулу кинематики для равноускоренного движения:

\[ v^2 = v_0^2 + 2as \]

Так как брусок начинает соскальзывать, начальная скорость \( v_0 = 0 \). Расстояние \( s \) равно длине наклонной плоскости \( L \).

\[ v^2 = 0^2 + 2aL \]

\[ v = \sqrt{2aL} = \sqrt{2 \cdot 4.051 \cdot 20} = \sqrt{162.04} \approx 12.73 \text{ м/с} \]

Ближайший вариант ответа — 13 м/с.

4. Находим продолжительность спуска (t):

Используем формулу кинематики:

\[ v = v_0 + at \]

\[ t = \frac{v - v_0}{a} = \frac{v}{a} \]

Используем полученное значение скорости \( v \) и рассчитанное ускорение \( a \):

\[ t = \frac{12.73}{4.051} \approx 3.14 \text{ с} \]

Ближайший вариант ответа — 3 с.

Сопоставляем с вариантами ответов:

Наши расчеты дали скорость около 12.73 м/с и время около 3.14 с. Наиболее близкий вариант ответа: 13 м/с; 3с.

Ответ: 13 м/с; 3с.