Борч..к, подштопанный кусками железа, фанеры, сухими ветка- ми, стеблями полыни, примыкал к дому бабки Варвары, и уже один вид этого заборч..ка говорил, что здесь одиноко к..ротает жизнь добрый, хл..потливый человек, воспитавший не слишком благодарных наследников. (Никит.)

Решение:

• борчик — в корне с чередованием -бор-/-бор- пишется о, если нет суффикса -а-, и а, если есть суффикс -а-. Суффикс -а- отсутствует, поэтому пишем о.
• ветками — непроизносимая согласная в корне слова. Проверочное слово — ветка.
• заборчика — в корне с чередованием -бор-/-бор- пишется о, если нет суффикса -а-, и а, если есть суффикс -а-. Суффикс -а- отсутствует, поэтому пишем о.
• коротает — в корне с чередованием -рот-/-раст-/-лож- пишется о.
• хлопотливый — непроизносимая согласная в корне слова. Проверочное слово — хлопот.
• наследников — без ударения в корне пишется буква а. Проверочное слово — наследство.

Ответ: борчик, ветками, заборчика, коротает, хлопотливый, наследников.