Боковое ребро правильной тре- угольной призмы равно 9 см, а диагональ боковой грани равна 15 см. Найдите площа- ди боковой и полной поверх- ностей призмы.

Для решения данной задачи необходимо знать формулы для расчета площади боковой и полной поверхностей правильной треугольной призмы.

1. Площадь боковой поверхности призмы равна произведению периметра основания на высоту призмы. Так как призма правильная, то в основании лежит равносторонний треугольник.

2. Площадь полной поверхности призмы равна сумме площади боковой поверхности и удвоенной площади основания.

Обозначим сторону основания призмы как $$a$$, высоту призмы (боковое ребро) как $$h$$, диагональ боковой грани как $$d$$, площадь боковой поверхности как $$S_{бок}$$, площадь основания как $$S_{осн}$$ и площадь полной поверхности как $$S_{полн}$$.

Дано:

• $$h = 9 \text{ см}$$
• $$d = 15 \text{ см}$$

1. Найдем сторону основания $$a$$ из прямоугольного треугольника, образованного боковым ребром, стороной основания и диагональю боковой грани, по теореме Пифагора:

$$a^2 + h^2 = d^2$$ $$a^2 + 9^2 = 15^2$$ $$a^2 + 81 = 225$$ $$a^2 = 225 - 81$$ $$a^2 = 144$$ $$a = \sqrt{144}$$ $$a = 12 \text{ см}$$

2. Найдем периметр основания $$P$$:

$$P = 3a = 3 \cdot 12 = 36 \text{ см}$$

3. Найдем площадь боковой поверхности $$S_{бок}$$:

$$S_{бок} = P \cdot h = 36 \cdot 9 = 324 \text{ см}^2$$

4. Найдем площадь основания $$S_{осн}$$ (площадь равностороннего треугольника):

$$S_{осн} = \frac{a^2 \sqrt{3}}{4} = \frac{12^2 \sqrt{3}}{4} = \frac{144 \sqrt{3}}{4} = 36 \sqrt{3} \text{ см}^2$$

5. Найдем площадь полной поверхности $$S_{полн}$$:

$$S_{полн} = S_{бок} + 2S_{осн} = 324 + 2 \cdot 36 \sqrt{3} = 324 + 72 \sqrt{3} \text{ см}^2$$

Ответ можно оставить в таком виде, либо вычислить приближенное значение:

$$S_{полн} \approx 324 + 72 \cdot 1.732 = 324 + 124.704 = 448.704 \text{ см}^2$$

Ответ: $$S_{бок} = 324 \text{ см}^2$$, $$S_{полн} = 324 + 72 \sqrt{3} \text{ см}^2 \approx 448.704 \text{ см}^2$$