Боковая сторона равнобедренной трапеции равна её меньшему основанию, угол при основании равен 60°, большее основание равно 28. Найдите радиус описанной окружности этой трапеции.

Решение:

Пусть \( ABCD \) — равнобедренная трапеция, где \( AB = CD \) — боковые стороны, \( BC \) — меньшее основание, \( AD \) — большее основание. По условию \( AB = BC \), \( \angle DAB = 60^{\circ} \), \( AD = 28 \).

Так как \( AB = BC \), то \( \triangle ABC \) — равнобедренный. Угол при основании \( ∠ BAC = ∠ BCA \).

Проведём высоту \( BH \) из вершины \( B \) на основание \( AD \). В прямоугольном треугольнике \( △ ABH \):

• \( ∠ BAH = 60^{\circ} \) (по условию).
• \( ∠ AHB = 90^{\circ} \) (по построению).
• Следовательно, \( ∠ ABH = 180^{\circ} - 90^{\circ} - 60^{\circ} = 30^{\circ} \).

Обозначим длину меньшего основания \( BC = x \). Тогда \( AB = x \).

В прямоугольном треугольнике \( △ ABH \):

• \( AH = AB · · · ·(∠ ABH) = x · · ·(°) = x · · · \)
• \( AH = AB · · ·(∠ BAH) = x · · ° = x · · · \)
• \( BH = AB · · ·(∠ BAH) = x · · ° = x · · · \)

В равнобедренной трапеции \( AD = AH + BC + HD \). Так как трапеция равнобедренная, \( AH = HD \).

\( AD = 2 · AH + BC \)

\( 28 = 2 · (x · · ·) + x \)

\( 28 = x · · · + x \)

\( 28 = x · ( · · + 1 ) \)

\( 28 = x · · · \)

\( x = \frac{28}{· · ·} \)

\( x = 14 \)

Значит, \( BC = 14 \) и \( AB = 14 \).

Угол при основании \( ∠ BCD = 180^{\circ} - 60^{\circ} = 120^{\circ} \).

В равнобедренном \( △ ABC \), \( ∠ ABC = ∠ ACB = (180^{\circ} - ∠ BAC) / 2 \).

Из \( ∠ BCD = 120^{\circ} \) и \( BC = AB \), следует, что \( ∠ CBD = ∠ CDB \).

Угол \( ∠ ACB = 180^{\circ} - 60^{\circ} - 60^{\circ} = 60^{\circ} \). Нет, это неверно.

В равнобедренной трапеции \( ∠ ABC + ∠ BCD = 180^{\circ} \).

Рассмотрим \( △ ABC \). \( AB = BC = 14 \). \( ∠ BAC \) — угол при основании трапеции. \( ∠ BCD = 120^{\circ} \).

В треугольнике \( △ ABC \), \( ∠ BAC = ∠ BCA \) (т.к. \( AB=BC \)).

\( ∠ DAB = 60^{\circ} \). \( ∠ BCD = 120^{\circ} \).

Проведём диагональ \( AC \). В \( △ ABC \), \( AB=BC=14 \). \( ∠ BAC = ∠ BCA \).

\( ∠ ABC = 180^{\circ} - (∠ BAC + ∠ BCA) = 180^{\circ} - 2 · ∠ BAC \).

\( ∠ ABC + ∠ BCD = 180^{\circ} \) (односторонние углы при параллельных \( BC \) и \( AD \) и секущей \( AB \)).

\( ∠ ABC + 120^{\circ} = 180^{\circ} \) ⇒ \( ∠ ABC = 60^{\circ} \).

Тогда \( 180^{\circ} - 2 · ∠ BAC = 60^{\circ} \) ⇒ \( 2 · ∠ BAC = 120^{\circ} \) ⇒ \( ∠ BAC = 60^{\circ} \).

Следовательно, \( △ ABC \) — равносторонний. \( AC = AB = BC = 14 \).

Рассмотрим \( △ ACD \). \( AD = 28 \), \( CD = 14 \), \( AC = 14 \).

По теореме косинусов для \( △ ACD \):

\( CD^2 = AC^2 + AD^2 - 2 · AC · AD · ·(∠ CAD) \)

\( 14^2 = 14^2 + 28^2 - 2 · 14 · 28 · ·(∠ CAD) \)

\( 196 = 196 + 784 - 784 · ·(∠ CAD) \)

\( 0 = 784 - 784 · ·(∠ CAD) \)

\( 784 · ·(∠ CAD) = 784 \)

\( ·(∠ CAD) = 1 \) ⇒ \( ∠ CAD = 0^{\circ} \). Это невозможно.

Вернёмся к \( △ ABH \). \( AB = x \), \( AH = AB · · ·(60^{\circ}) = x · · · = x/2 \).

\( BH = AB · · ·(60^{\circ}) = x · · · = x · · · \).

\( AD = 2 · AH + BC \)

\( 28 = 2 · (x/2) + x \)

\( 28 = x + x \)

\( 28 = 2x \)

\( x = 14 \).

\( BC = 14 \), \( AB = 14 \). \( AH = 14/2 = 7 \).

\( BH = 14 · · · = 14 · · · = 7 · · · \).

Рассмотрим \( △ ADC \). \( AD = 28 \), \( CD = 14 \). \( ∠ ADC = 60^{\circ} \).

По теореме косинусов для \( △ ADC \):

\( AC^2 = AD^2 + CD^2 - 2 · AD · CD · ·(∠ ADC) \)

\( AC^2 = 28^2 + 14^2 - 2 · 28 · 14 · ·(60^{\circ}) \)

\( AC^2 = 784 + 196 - 2 · 28 · 14 · 0.5 \)

\( AC^2 = 980 - 392 \)

\( AC^2 = 588 \)

\( AC = ·(· 588) = ·(· 4 · 147) = 2 · ·(· 3 · 49) = 2 · 7 · ·(3) = 14 · ·(3) \)

\( AC = ·(588) = ·(196 · 3) = 14 · ·(3) \).

Диагональ \( AC = 14 · ·(3) \).

Радиус описанной окружности \( R \) для треугольника \( △ ADC \) (или \( △ ABC \), так как они вписаны в ту же окружность) можно найти по формуле:

\( R = \frac{a · b · c}{4S} \), где \( a, b, c \) — стороны треугольника, \( S \) — его площадь.

Площадь \( △ ADC \):

\( S = \frac{1}{2} · AD · BH = \frac{1}{2} · 28 · (7 · ·(3)) = 14 · 7 · ·(3) = 98 · ·(3) \).

\( R = \frac{AD · CD · AC}{4S} = \frac{28 · 14 · (14 · ·(3))}{4 · (98 · ·(3))} \)

\( R = \frac{28 · 14 · 14 · ·(3)}{392 · ·(3)} = \frac{5488 · ·(3)}{392 · ·(3)} = 14 \).

Альтернативный способ: используем теорему синусов для \( △ ADC \).

\( \frac{AC}{·(∠ ADC)} = 2R \)

\( \frac{14 · ·(3)}{·(60^{\circ})} = 2R \)

\( \frac{14 · ·(3)}{·(3)/2} = 2R \)

\( \frac{14 · ·(3) · 2}{·(3)} = 2R \)

\( 14 · 2 = 2R \)

\( 28 = 2R \)

\( R = 14 \).

Ответ: 14