Биссектрисы углов А и В параллелограмма ABCD пересекаются в точке N, лежащей на стороне CD. Докажите, что N середина CD.

Доказательство:

Пусть \( ∠ DAB = α \) и \( ∠ CBA = β \).

Так как ABCD — параллелограмм, то \( ∠ DAB + ∠ CBA = 180^\circ \), то есть \( α + β = 180^\circ \).

AN — биссектриса \( ∠ DAB \), следовательно, \( ∠ DAN = ∠ NAB = \frac{α}{2} \).

BN — биссектриса \( ∠ CBA \), следовательно, \( ∠ CBN = ∠ NBA = \frac{β}{2} \).

Так как AB || CD, то \( ∠ DAB + ∠ AND = 180^\circ \) (как односторонние углы при параллельных прямых AB и CD и секущей AD) и \( ∠ CBA + ∠ BNC = 180^\circ \) (как односторонние углы при параллельных прямых AB и CD и секущей BC).

Рассмотрим треугольник ADN. Угол \( ∠ NAD = \frac{α}{2} \). Угол \( ∠ AND = 180^\circ - ∠ NAD - ∠ NDA \). Так как AB || CD, то \( ∠ NBA = ∠ BND \) (как накрест лежащие углы при параллельных прямых AB и CD и секущей BN).

Так как AB || CD, то \( ∠ NAB = ∠ AND \) (как накрест лежащие углы при параллельных прямых AB и CD и секущей AN).

Но \( ∠ NAB = \frac{α}{2} \). Следовательно, \( ∠ AND = \frac{α}{2} \).

В треугольнике ADN углы \( ∠ NAD = \frac{α}{2} \) и \( ∠ AND = \frac{α}{2} \). Это означает, что треугольник ADN равнобедренный с основанием AN. Следовательно, \( AD = DN \).

Аналогично рассмотрим треугольник BCN. Угол \( ∠ NBC = \frac{β}{2} \). Так как AB || CD, то \( ∠ NBA = ∠ BNC \) (как накрест лежащие углы при параллельных прямых AB и CD и секущей BN).

Но \( ∠ NBA = \frac{β}{2} \). Следовательно, \( ∠ BNC = \frac{β}{2} \).

В треугольнике BCN углы \( ∠ NBC = \frac{β}{2} \) и \( ∠ BNC = \frac{β}{2} \). Это означает, что треугольник BCN равнобедренный с основанием BN. Следовательно, \( BC = CN \).

В параллелограмме ABCD противолежащие стороны равны: \( AD = BC \).

Таким образом, \( DN = AD = BC = CN \).

Значит, \( DN = CN \). Точка N делит сторону CD пополам, то есть N — середина CD.

Что и требовалось доказать.