2. Биссектрисы углов А и D параллелограмма АВСD пересекаются в точке, лежащей на стороне ВС. Найдите АВ, если ВС=38.

2. Биссектрисы углов A и D параллелограмма ABCD пересекаются в точке, лежащей на стороне BC. Найдите AB, если BC = 38.

Решение:

• Пусть точка пересечения биссектрис углов A и D будет E.
• Так как AE - биссектриса угла A, то ∠BAE = ∠EAD.
• Так как DE - биссектриса угла D, то ∠ADE = ∠EDC.
• Сумма углов прилежащих к одной стороне параллелограмма равна 180°, значит, ∠BAD + ∠ADC = 180°.
• Так как AE и DE биссектрисы углов A и D, то ∠EAD + ∠ADE = 1/2 (∠BAD + ∠ADC) = 1/2 × 180° = 90°.
• Следовательно, ∠AED = 180° - (∠EAD + ∠ADE) = 180° - 90° = 90°.
• Значит, треугольник AED прямоугольный.
• Так как E лежит на стороне BC, то рассмотрим треугольник ABE. ∠BAE = ∠EAD, а ∠EAD = ∠AEB как накрест лежащие углы при параллельных прямых AD и BC и секущей AE. Следовательно, ∠BAE = ∠AEB, а значит треугольник ABE равнобедренный и AB = BE.
• Аналогично рассматриваем треугольник CDE. ∠ADE = ∠EDC, ∠EDC = ∠DEC как накрест лежащие углы при параллельных прямых AD и BC и секущей DE. Следовательно, ∠ADE = ∠DEC, а значит треугольник CDE равнобедренный и CD = CE.
• Так как ABCD - параллелограмм, то AB = CD и BC = AD.
• BC = BE + EC = AB + CD. Так как AB = CD, то BC = 2AB, следовательно, AB = BC/2 = 38/2 = 19.

Ответ: 19