25. Биссектрисы углов $$A$$ и $$B$$ параллелограмма $$ABCD$$ пересекаются в точке $$L$$. Найдите площадь параллелограмма, если $$BC = 4$$, а расстояние от точки $$L$$ до стороны $$AB$$ равно 11.

Пусть $$ABCD$$ — параллелограмм, $$BC = 4$$, $$L$$ — точка пересечения биссектрис углов $$A$$ и $$B$$, расстояние от $$L$$ до $$AB$$ равно 11.

Так как биссектрисы углов $$A$$ и $$B$$ пересекаются в точке $$L$$, то $$L$$ лежит на прямой, параллельной $$AB$$ и $$CD$$, на расстоянии 11 от $$AB$$. Это означает, что высота параллелограмма равна 22.

Площадь параллелограмма $$ABCD$$ равна $$S = AB \cdot h$$, где $$h$$ — высота, опущенная на сторону $$AB$$.

В параллелограмме углы $$A$$ и $$B$$ — внутренние односторонние, поэтому $$\angle A + \angle B = 180^\circ$$.

Так как $$AL$$ и $$BL$$ — биссектрисы, то $$\frac{\angle A}{2} + \frac{\angle B}{2} = \frac{1}{2} (\angle A + \angle B) = \frac{1}{2} \cdot 180^\circ = 90^\circ$$.

Это означает, что $$\angle ALB = 180^\circ - (\frac{\angle A}{2} + \frac{\angle B}{2}) = 180^\circ - 90^\circ = 90^\circ$$.

Значит, треугольник $$ALB$$ — прямоугольный, и $$L$$ лежит на окружности, построенной на $$AB$$ как на диаметре.

Пусть $$M$$ — середина $$AB$$. Тогда $$ML = MA = MB = \frac{1}{2} AB$$.

Расстояние от $$L$$ до $$AB$$ равно 11. Значит, $$LM = 11$$.

Тогда $$\frac{1}{2} AB = 11$$, откуда $$AB = 22$$.

Площадь параллелограмма $$ABCD$$ равна $$S = AB \cdot h = BC \cdot h'$$, где $$h'$$ - высота, опущенная на сторону $$BC$$.

Мы знаем, что расстояние от $$L$$ до $$AB$$ равно 11, поэтому $$h' = 2\cdot 11 = 22$$.

Тогда $$S = BC \cdot h = AB \cdot 11$$.

Рассмотрим треугольник $$ABL$$. Его площадь равна $$\frac{1}{2} AB \cdot 11$$.

Площадь треугольника $$ABL$$ также равна $$\frac{1}{2} AL \cdot BL \cdot \sin \angle ALB$$.

Опустим высоту из точки L на сторону AB. Она равна 11. Тогда AB*11=2*S, где S - площадь треугольника ABL.

Так как высота параллелограмма, опущенная из точки C или D равна 22 (две высоты треугольника), то 11 - половина высоты параллелограмма. BC=4.

Высота параллелограмма равна расстоянию между прямыми AB и CD. Она в два раза больше, чем от точки L до стороны AB (точка L лежит посередине), значит высота параллелограмма равна 11*2 = 22. Это высота, опущенная на сторону BC.

Длина BC=4, значит площадь параллелограмма равна 4*22 = 88.

Ответ: 88