Биссектриса угла А параллелограмма ABCD пересекает сторону ВС в точке К. Найдите периметр этого параллелограмма, если ВК = 15 см, КС = 9 см.

Решение:

В параллелограмме ABCD биссектриса угла A пересекает сторону BC в точке K.

Так как AK — биссектриса угла A, то \( \angle BAK = \angle KAD \).

В параллелограмме стороны параллельны, значит, AD \( \parallel \) BC. Следовательно, \( \angle KAD = \angle BKA \) как накрест лежащие углы при пересечении параллельных прямых AD и BC секущей AK.

Из равенства \( \angle BAK = \angle KAD \) и \( \angle KAD = \angle BKA \) следует, что \( \angle BAK = \angle BKA \).

Треугольник ABK является равнобедренным, так как углы при основании BK равны. Следовательно, AB = BK.

По условию задачи, \( BK = 15 \) см. Значит, \( AB = 15 \) см.

Также по условию, \( KC = 9 \) см.

Сторона BC равна сумме отрезков BK и KC: \( BC = BK + KC = 15 \) см + \( 9 \) см = \( 24 \) см.

В параллелограмме противоположные стороны равны, поэтому \( AD = BC = 24 \) см и \( CD = AB = 15 \) см.

Периметр параллелограмма вычисляется по формуле \( P = 2(a + b) \), где a и b — длины смежных сторон.

\( P = 2(AB + BC) = 2(15 \text{ см} + 24 \text{ см}) = 2(39 \text{ см}) = 78 \) см.

Ответ: 78 см.