Биссектриса равнобедренного треугольника равна \(12\sqrt{3}\). Найдите сторону этого треугольника.

В равнобедренном треугольнике биссектриса, проведённая к основанию, является также высотой и медианой. Пусть сторона треугольника равна \(a\). Тогда половина основания равна \(\frac a2\), а биссектриса равна \(12\sqrt3\).

По теореме Пифагора для образовавшегося прямоугольного треугольника:

\[a^2=(12\sqrt3)^2+\left(\frac a2\right)^2.\]

\[a^2=432+\frac{a^2}{4},\qquad \frac{3a^2}{4}=432,\qquad a^2=576.\]

Так как длина стороны положительна, \(a=24\).

Ответ: 24.