Билет № 9. 2. Прямая касается окружности в точке К. Точка О — центр окружности. Хорда КМ образует с касательной угол, равный 83°. Найдите величину угла ОМК. Ответ дайте в градусах.

Решение:

Угол между касательной (прямой, касающейся окружности в точке К) и хордой (КМ) равен половине дуги, которую он содержит. В данном случае, угол между касательной и хордой КМ равен 83°, следовательно, величина дуги МК составляет \( 83^\circ \times 2 = 166^\circ \).

Угол ОМК является частью равнобедренного треугольника ОМК, где ОК и ОМ — радиусы окружности. Следовательно, \( \angle OMK = \angle OKM \).

Центральный угол, опирающийся на дугу МК, равен величине этой дуги, то есть \( \angle MOK = 166^\circ \).

Сумма углов в треугольнике ОМК равна 180°. Поэтому, \( \angle OMK + \angle OKM + \angle MOK = 180^\circ \).

Так как \( \angle OMK = \angle OKM \), мы можем записать: \( 2 \times \angle OMK + 166^\circ = 180^\circ \).

Решим уравнение: \( 2 \times \angle OMK = 180^\circ - 166^\circ \)

\( 2 \times \angle OMK = 14^\circ \)

\( \angle OMK = \frac{14^\circ}{2} = 7^\circ \).

Ответ: 7