Билет 9. 1. Средняя линия треугольника. Теорема о средней линии треугольника (доказательство). 2. Площадь квадрата, прямоугольника, параллелограмма. 3. К окружности с центром в точке О из точки А проведены две касательные, угол между которыми равен 120°. Найдите длины отрезков касательных, если ОА=24 см.

Решение:

1. Средняя линия треугольника.

Средняя линия треугольника — это отрезок, соединяющий середины двух сторон треугольника.

Теорема о средней линии треугольника: Средняя линия треугольника, соединяющая середины двух сторон, параллельна третьей стороне и равна половине длины этой стороны.

Доказательство:

Пусть дан треугольник \( \triangle ABC \) и отрезок \( MN \) — его средняя линия, где \( M \) — середина \( AB \), а \( N \) — середина \( AC \).

Рассмотрим \( \triangle AMN \) и \( \triangle ABC \).

1. \( AM = MB \) и \( AN = NC \) по определению средней линии.

2. \( \angle MAN = \angle BAC \) (общий угол).

По признаку подобия треугольников (по двум сторонам и углу между ними), \( \triangle AMN \sim \triangle ABC \).

Из подобия следует, что отношение соответствующих сторон равно коэффициенту подобия, который равен 2 (так как \( AB = 2AM \) и \( AC = 2AN \)).

Следовательно, \( MN = \frac{1}{2} BC \) и \( \angle AMN = \angle ABC \).

Так как \( \angle AMN = \angle ABC \), то \( MN \parallel BC \) (как соответственные углы при секущей \( AB \)).

Теорема доказана.

2. Площадь квадрата, прямоугольника, параллелограмма.

• Площадь квадрата: \( S = a^2 \), где \( a \) — сторона квадрата.
• Площадь прямоугольника: \( S = a \cdot b \), где \( a \) и \( b \) — стороны прямоугольника.
• Площадь параллелограмма: \( S = a \cdot h_a \), где \( a \) — сторона параллелограмма, \( h_a \) — высота, проведенная к этой стороне.

3. Задача про касательные.

Дано:

Окружность с центром в \( O \).

Из точки \( A \) проведены две касательные \( AB \) и \( AC \) (где \( B \) и \( C \) — точки касания).

\( \angle BAC = 120^{\circ} \).

\( OA = 24 \) см.

Найти:

Длины отрезков касательных \( AB \) и \( AC \).

Решение:

1. Треугольник \( \triangle OAB \) — прямоугольный, так как радиус \( OB \) перпендикулярен касательной \( AB \) в точке касания.

2. \( \triangle OAC \) также прямоугольный по аналогичным причинам.

3. \( OB = OC \) (радиусы окружности).

4. \( OA \) — общая гипотенуза для \( \triangle OAB \) и \( \triangle OAC \).

Следовательно, \( \triangle OAB = \triangle OAC \) по гипотенузе и катету (или по трем сторонам, если доказать \( AB=AC \) из подобия/равенства треугольников).

5. \( \angle OAB = \angle OAC \) и \( \angle OBA = \angle OCA \).

6. \( \angle BAC = 120^{\circ} \). Так как \( \triangle OAB = \triangle OAC \), то \( \angle OAB = \angle OAC = \frac{120^{\circ}}{2} = 60^{\circ} \).

7. Рассмотрим прямоугольный \( \triangle OAB \). Угол \( \angle OAB = 60^{\circ} \), а гипотенуза \( OA = 24 \) см.

8. В прямоугольном треугольнике катет, лежащий против угла в \( 30^{\circ} \) (это \( OB \)), равен половине гипотенузы. Угол \( \angle AOB = 90^{\circ} - 60^{\circ} = 30^{\circ} \). Значит, \( OB = \frac{1}{2} OA = \frac{1}{2} \cdot 24 = 12 \) см.

9. Найдем катет \( AB \) по теореме Пифагора: \( AB^2 + OB^2 = OA^2 \)

\( AB^2 + 12^2 = 24^2 \)

\( AB^2 + 144 = 576 \)

\( AB^2 = 576 - 144 = 432 \)

\( AB = \sqrt{432} = \sqrt{144 \cdot 3} = 12 \sqrt{3} \) см.

10. Так как \( \triangle OAB = \triangle OAC \), то \( AC = AB = 12 \sqrt{3} \) см.

Ответ: Длины отрезков касательных равны \( 12\sqrt{3} \) см.