Билет 9. 1. Определение треугольника и его элементов. Равные треугольники 2. Точка Д на стороне АВ треугольника АВС выбрана так, что AD = АС. Известно, что ∠CAB = 80° и ∠ACB=59°. Найдите угол DCВ. Ответ дайте в градусах. 3. В треугольнике АВС проведена биссектриса AL, угол ALC равен 62°, угол АВС равен 47°. Найдите угол АСВ. Ответ дайте в градусах. 4. Какие из следующих утверждений верны: 1) В тупоугольном треугольнике все углы тупые. 2) Через точку, не лежащую на данной прямой, можно провести прямую, перпендикулярную этой прямой. 3) Сумма смежных углов равна 180°.

Решение:

1. Треугольник — это многоугольник с тремя вершинами и тремя сторонами. Элементами треугольника являются его вершины, стороны и углы. Равные треугольники — это треугольники, у которых соответствующие стороны и углы равны.
2. В треугольнике АВС \( \angle CAB = 80^{\circ} \) и \( \angle ACB = 59^{\circ} \).
3. Сумма углов треугольника равна 180°. \( \angle ABC = 180^{\circ} - (\angle CAB + \angle ACB) = 180^{\circ} - (80^{\circ} + 59^{\circ}) = 180^{\circ} - 139^{\circ} = 41^{\circ} \).
4. В треугольнике ADC AD = AC, значит, он равнобедренный.
5. \( \angle ADC = \angle ACD = \frac{180^{\circ} - \angle CAB}{2} = \frac{180^{\circ} - 80^{\circ}}{2} = \frac{100^{\circ}}{2} = 50^{\circ} \).
6. \( \angle DCB = \angle ACB - \angle ACD = 59^{\circ} - 50^{\circ} = 9^{\circ} \).
7. В треугольнике АВС проведена биссектриса AL.
8. \( \angle ALC = 62^{\circ} \).
9. \( \angle ABC = 47^{\circ} \).
10. В треугольнике АВL: \( \angle BAL + \angle ABC + \angle ALB = 180^{\circ} \).
11. \( \angle ALB = 180^{\circ} - \angle ALC = 180^{\circ} - 62^{\circ} = 118^{\circ} \) (как смежные углы).
12. \( \angle BAL + 47^{\circ} + 118^{\circ} = 180^{\circ} \)
13. \( \angle BAL = 180^{\circ} - 47^{\circ} - 118^{\circ} = 180^{\circ} - 165^{\circ} = 15^{\circ} \).
14. AL — биссектриса, значит, \( \angle BAL = \angle CAL = 15^{\circ} \).
15. В треугольнике АВС: \( \angle BAC = \angle BAL + \angle CAL = 15^{\circ} + 15^{\circ} = 30^{\circ} \).
16. \( \angle ACB = 180^{\circ} - \angle ABC - \angle BAC = 180^{\circ} - 47^{\circ} - 30^{\circ} = 180^{\circ} - 77^{\circ} = 103^{\circ} \).
17. Утверждения:
18. 1) Неверно. В тупоугольном треугольнике только один угол тупой, остальные два — острые.
19. 2) Верно. Это одно из основных положений евклидовой геометрии.
20. 3) Верно. Смежные углы в сумме составляют развернутый угол.

Ответ: 1. Треугольник — многоугольник с тремя сторонами и тремя углами. Равные треугольники имеют равные соответствующие стороны и углы. 2. \( \angle DCB = 9^{\circ} \). 3. \( \angle ACB = 103^{\circ} \). 4. Верны утверждения 2 и 3.