Билет №8. 1. Объясните, как построить треугольник по двум сторонам и углу между ними. 2. Теорема о сумме углов треугольника. 3. Задача на тему «Второй признак равенства треугольников». На биссектрисе угла А взята точка Е, а на сторонах этого угла точки В и С такие, что угол АЕС равен углу АЕВ. Доказать, что ВЕ равно СЕ.

Билет №8

1. Построение треугольника по двум сторонам и углу между ними (первый признак равенства треугольников):

1. С помощью линейки постройте отрезок, равный одной из заданных сторон.
2. С помощью транспортира от одного из концов отрезка отложите заданный угол.
3. На одной из сторон угла отложите отрезок, равный второй заданной стороне.
4. Соедините концы двух сторон отрезком. Получится искомый треугольник.

2. Теорема о сумме углов треугольника: Сумма углов любого треугольника равна 180°.

Дано: \( \triangle ABC \).

Доказать: \( \angle A + \angle B + \angle C = 180^{\circ} \).

Доказательство:

1. Через вершину \( B \) проведём прямую \( MN \), параллельную стороне \( AC \).
2. \( \angle ABC \) — угол между прямыми \( BA \) и \( BC \).
3. \( \angle MBA \) и \( \angle NBC \) — развёрнутые углы.
4. \( \angle MBA = \angle BAC \) (как накрест лежащие углы при параллельных \( MN \) и \( AC \) и секущей \( AB \)).
5. \( \angle NBC = \angle BCA \) (как накрест лежащие углы при параллельных \( MN \) и \( AC \) и секущей \( BC \)).
6. \( \angle ABC + \angle MBA + \angle NBC = 180^{\circ} \) (как смежные углы, образующие развёрнутый угол \( MBN \)).
7. Подставляя равные углы, получаем: \( \angle ABC + \angle BAC + \angle BCA = 180^{\circ} \).
8. Таким образом, сумма углов треугольника равна 180°.

3. Задача:

Дано: \( \triangle ABC \), \( AE \) — биссектриса \( \angle A \), \( E \) на \( BC \). \( \angle AEC = \angle AEB \). \( \angle AEB = \angle AEC \) (вертикальные углы).

Доказать: \( BE = CE \).

Доказательство:

1. Так как \( \angle AEB + \angle AEC = 180^{\circ} \) (развёрнутый угол) и \( \angle AEC = \angle AEB \), то \( 2 \angle AEB = 180^{\circ} \), следовательно, \( \angle AEB = \angle AEC = 90^{\circ} \).
2. Таким образом, \( AE \) является высотой \( \triangle ABC \).
3. Так как \( AE \) является биссектрисой и высотой \( \triangle ABC \), то \( \triangle ABC \) — равнобедренный с основанием \( BC \).
4. В равнобедренном треугольнике \( \triangle ABC \) биссектриса \( AE \) также является медианой.
5. Следовательно, \( BE = CE \).

Ответ: BE равно CE.