Билет 7. 1. Дайте определение равнобедренного треугольника. Сформулируйте свойства равнобедренного треугольника. 2. Докажите свойства смежных и вертикальных углов. 3. В прямоугольном треугольнике АВС гипотенуза АВ равна 38 см, а угол В равен 60°. Найти катет ВС. 4. На рисунке АС||DB, CO=OD. Докажите равенство треугольников СОЛ и DOB. A C D B

Решение:

1. Равнобедренный треугольник — это треугольник, у которого две стороны равны.

Свойства равнобедренного треугольника:

• Углы при основании равны.
• Биссектриса, проведенная к основанию, является медианой и высотой.
• Медиана, проведенная к основанию, является биссектрисой и высотой.
• Высота, проведенная к основанию, является биссектрисой и медианой.

2. Доказательство свойств смежных и вертикальных углов:

Смежные углы: Два угла называются смежными, если у них есть общая сторона, а две другие стороны являются дополнительными лучами (образуют развернутый угол). Сумма смежных углов равна 180°.

Пусть \( \text{угол } α \) и \( \text{угол } β \) — смежные углы. Тогда \( α + β = 180^{\circ} \).

Вертикальные углы: Два угла называются вертикальными, если их стороны являются дополнительными лучами. Вертикальные углы равны.

Пусть \( \text{угол } α \) и \( \text{угол } γ \) — вертикальные углы. Докажем, что \( α = γ \).

Пусть \( α \) и \( β \) — смежные, \( β \) и \( γ \) — смежные. Тогда:

\[ α + β = 180^{\circ} \]

\[ β + γ = 180^{\circ} \]

Из этих равенств следует, что \( α + β = β + γ \). Вычитая \( β \) из обеих частей, получаем \( α = γ \).

3. В прямоугольном треугольнике ABC:

• Гипотенуза \( AB = 38 \) см.
• \( Γξλ V = 60^{\circ} \).

Катет, противолежащий углу B, равен BC.

Используем соотношение для синуса угла:

\[ βσι β = \frac{BC}{AB} \]

\[ BC = AB \cdot βσι β \]

\[ BC = 38 \text{ см} \cdot \u03B2σι 60^{\circ} \]

Так как \( βσι 60^{\circ} = \frac{\sqrt{3}}{2} \), то:

\[ BC = 38 \text{ см} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 19\sqrt{3} \text{ см} \]

Ответ: Катет BC равен 19\(\sqrt{3}\) см.

4. Дано: \( AC ∥ DB \), \( CO = OD \).

Доказать: \( △ COA = △ DOB \).

Доказательство:

Рассмотрим треугольники \( △ COA \) и \( △ DOB \).

• \( CO = OD \) — по условию.
• \( ∠ COA = ∠ DOB \) — как вертикальные углы.
• Так как \( AC ∥ DB \) и \( CD \) — секущая, то \( ∠ ACO = ∠ BDO \) (как накрест лежащие углы).

По двум углам и прилежащей стороне (признак равенства треугольников по стороне и двум прилежащим углам) \( △ COA = △ DOB \).

Ответ: Треугольники СОА и DOB равны по признаку равенства треугольников (по стороне и двум прилежащим углам).