Билет 6 2. Изобразить криволинейную трапецию, ограниченную прямыми х=3 и х=9, и найти её площадь: f(x) = 1/x

Решение:

Криволинейная трапеция ограничена сверху графиком функции \( f(x) = \frac{1}{x} \), снизу — осью абсцисс (ось Ox), а по бокам — вертикальными прямыми \( x = 3 \) и \( x = 9 \).

Площадь такой трапеции находится как определённый интеграл от функции \( f(x) \) в пределах от \( a \) до \( b \):

\[ S = \int_{a}^{b} f(x) dx \]

В нашем случае \( a = 3 \) и \( b = 9 \), а \( f(x) = \frac{1}{x} \).

\[ S = \int_{3}^{9} \frac{1}{x} dx \]

Первообразная для \( \frac{1}{x} \) это \( \ln|x| \).

\[ S = [\ln|x|]_{3}^{9} \]

Вычисляем значение:

\[ S = \ln(9) - \ln(3) \]

Используя свойства логарифмов ( \( \ln a - \ln b = \ln \frac{a}{b} \) ):

\[ S = \ln \frac{9}{3} \]\[ S = \ln 3 \]

Ответ: Площадь криволинейной трапеции равна \( \ln 3 \).