Билет №5 1. Теорема о площади треугольника. Доказательство. Следствия. 2. В равнобедренном треугольнике АВС точки К и М являются серединами боковых сторон АВ и ВС соответственно. BD – медиана треугольника. Доказать, что ∆ BKD = A BMD.

Решение:

1. Теорема о площади треугольника: Площадь треугольника равна половине произведения его основания на высоту, проведенную к этому основанию. \( S = \frac{1}{2} a \cdot h \).
   Доказательство:
   Любой треугольник можно достроить до параллелограмма. Площадь треугольника равна половине площади этого параллелограмма. Так как площадь параллелограмма равна произведению основания на высоту \( S_{пар} = a · h \), то площадь треугольника \( S_{тр} = \frac{1}{2} a · h \).
   Следствия:
   
   • Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения его катетов.
   • Если два треугольника имеют равные основания и равные высоты, то их площади равны.
2. Доказательство равенства треугольников:
   Рассмотрим треугольники BKD и BMD.
   BK = AM (так как K — середина AB, и AM — это AB, что нам нужно доказать).
   BD — общая сторона.
   ∠BKD = ∠BMD (по условию, так как BD — медиана и K, M — середины боковых сторон. Это неверно. Нужно использовать равенство треугольников по трем сторонам).
   Переформулируем:
   Рассмотрим треугольники BKD и BMD.
   BD — общая сторона.
   K — середина AB, значит, BK = AK.
   M — середина BC, значит, BM = MC.
   BD — медиана, проведенная к стороне AC. Следовательно, AD = DC.
   Теперь рассмотрим треугольники ABD и CBD. AB = CB (т.к. треугольник ABC равнобедренный). BD — общая сторона. AD = CD. Значит, треугольники ABD и CBD равны по трем сторонам.
   Из равенства треугольников ABD и CBD следует, что ∠ABD = ∠CBD.
   Теперь рассмотрим треугольники BKD и BMD.
   BK = BM (так как K и M — середины боковых сторон AB и BC, и AB = BC, следовательно, BK = AB/2 и BM = BC/2, значит BK = BM).
   BD — общая сторона.
   ∠KBD = ∠MBD (так как BD — биссектриса угла ABC, что следует из равенства треугольников ABD и CBD).
   По первому признаку равенства треугольников (две стороны и угол между ними), треугольники BKD и BMD равны.

Ответ: ∆ BKD = ∆ BMD.