Билет №4. 1. Наклонная, проведенная из данной точки к прямой, расстояние от точки до прямой. 2. Доказать, что если при пересечении двух прямых секущей сумма односторонних углов равна 180, то прямые параллельны.

Теоретические вопросы:

1. Наклонная, расстояние от точки до прямой:

• Расстояние от точки до прямой — это длина перпендикуляра, опущенного из данной точки на данную прямую.
• Наклонная — это отрезок, соединяющий данную точку с точкой на прямой, не являющийся перпендикуляром.

2. Признак параллельности прямых (односторонние углы):

Теорема: Если при пересечении двух прямых секущей сумма односторонних углов равна 180°, то эти прямые параллельны.

Дано: Прямые \( a \) и \( b \) пересечены секущей \( c \). \( \angle 1 \) и \( \angle 2 \) — односторонние углы, \( \angle 1 + \angle 2 = 180^{\circ} \).

Доказать: \( a ​ \parallel b \).

Доказательство:

1. Пусть \( \angle 3 \) — угол, смежный с \( \angle 1 \). Тогда \( \angle 1 + \angle 3 = 180^{\circ} \).
2. По условию \( \angle 1 + \angle 2 = 180^{\circ} \).
3. Из равенства \( \angle 1 + \angle 3 = 180^{\circ} \) и \( \angle 1 + \angle 2 = 180^{\circ} \) следует, что \( \angle 3 = \angle 2 \).
4. Углы \( \angle 3 \) и \( \angle 2 \) являются накрест лежащими углами при пересечении прямых \( a \) и \( b \) секущей \( c \). (Примечание: Это не совсем точно. \( \angle 3 \) и \( \angle 2 \) не являются накрест лежащими. Следует доказать равенство соответственных углов.)
5. Пусть \( \angle 3 \) — угол, вертикальный с \( \angle 1 \). Тогда \( \angle 1 = \angle 3 \).
6. Угол \( \angle 2 \) и \( \angle 4 \) (смежный с \( \angle 1 \) на прямой \( b \)) являются односторонними.
7. Переформулируем доказательство:
8. Пусть \( \angle 1 \) и \( \angle 2 \) — односторонние углы, \( \angle 1 + \angle 2 = 180^{\circ} \).
9. Пусть \( \angle 3 \) — угол, смежный с \( \angle 1 \). Тогда \( \angle 1 + \angle 3 = 180^{\circ} \).
10. Из \( \angle 1 + \angle 2 = 180^{\circ} \) и \( \angle 1 + \angle 3 = 180^{\circ} \) следует, что \( \angle 2 = \angle 3 \).
11. Угол \( \angle 3 \) и угол \( \angle 2 \) являются накрест лежащими углами при пересечении прямых \( a \) и \( b \) секущей \( c \).
12. Так как накрест лежащие углы равны, то прямые \( a \) и \( b \) параллельны.