Билет №3 1) Определение и свойства прямоугольника п.46 3) Доказать теорему Пифагора. п.55

Билет №3

1. Определение и свойства прямоугольника

   Прямоугольник — это четырёхугольник, у которого все углы прямые.

   Свойства прямоугольника:

   • Противоположные стороны равны и параллельны.
   • Все углы равны 90°.
   • Диагонали равны и точкой пересечения делятся пополам.
   • Сумма углов равна 360°.

   (См. параграф 46)

2. Доказательство теоремы Пифагора

   Теорема: В прямоугольном треугольнике квадрат длины гипотенузы равен сумме квадратов длин катетов.

   Дано: Прямоугольный треугольник ABC, \( \angle C = 90^{\circ} \), \( a \) и \( b \) — катеты, \( c \) — гипотенуза.

   Доказать: \( c^2 = a^2 + b^2 \)

   Доказательство:

   1. Проведём через вершину C прямую, перпендикулярную гипотенузе AB. Пусть она пересекает гипотенузу в точке D, а продолжение стороны AC — в точке E.
   2. Рассмотрим треугольник ACE. Он прямоугольный (\( \angle ACD = 90^{\circ} \)).
   3. Площадь треугольника ABC можно вычислить двумя способами:
      1. Через катеты: \( S = \frac{1}{2}ab \)
      2. Через гипотенузу и высоту: \( S = \frac{1}{2}ch_c \), где \( h_c = CD \) — высота, проведённая к гипотенузе.
   4. Из равенства площадей следует: \( ab = ch_c \)
   5. Введём вспомогательный квадрат со стороной \( a+b \). Его площадь равна \( (a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 \).
   6. С другой стороны, в этот квадрат можно вписать четыре одинаковых прямоугольных треугольника с катетами \( a \) и \( b \), и один квадрат со стороной \( c \).
   7. Площадь большого квадрата равна сумме площадей четырёх треугольников и одного квадрата: \( S_{большого} = 4 \cdot \frac{1}{2}ab + c^2 = 2ab + c^2 \).
   8. Приравнивая две формулы для площади большого квадрата, получаем: \( a^2 + 2ab + b^2 = 2ab + c^2 \).
   9. Сокращая \( 2ab \) с обеих сторон, получаем искомую теорему: \( a^2 + b^2 = c^2 \).

   (См. параграф 55)