Билет №20. 1. Свойства равнобедренного треугольника. 2. Доказать, что при пересечении двух параллельных прямых секущей накрест лежащие углы равны. 3. Найдите неизвестный угол треугольника. 4. Задача на тему «Расстояние от точки до прямой». В равнобедренном треугольнике АВС с основанием АС = 37 см, внешний угол при вершине В равен 60°. Найти расстояние от вершины С до прямой АВ.

1. Свойства равнобедренного треугольника.

• В равнобедренном треугольнике углы при основании равны.
• В равнобедренном треугольнике медиана, проведенная к основанию, является биссектрисой и высотой.
• Высота, проведенная к основанию, делит его пополам.
• Биссектриса угла при вершине, проведенная к основанию, является медианой и высотой.

2. Доказательство теоремы о накрест лежащих углах.

Дано: Две параллельные прямые \( a \) и \( b \) пересечены секущей \( c \).

Доказать: Накрест лежащие углы равны.

Доказательство:

Пусть \( \alpha \) и \( \beta \) — накрест лежащие углы.

1. Углы \( \alpha \) и \( \gamma \) — соответственные. Так как \( a \parallel b \), то \( \angle \alpha = \angle \gamma \) (по свойству соответственных углов).
2. Углы \( \gamma \) и \( \beta \) — вертикальные. Следовательно, \( \angle \gamma = \angle \beta \).
3. Из равенств \( \angle \alpha = \angle \gamma \) и \( \angle \gamma = \angle \beta \) следует, что \( \angle \alpha = \angle \beta \).

Что и требовалось доказать.

3. Найдите неизвестный угол треугольника.

Дано: Треугольник ABC. \( \angle BAC = 30^\circ \). AC является катетом, BC — другим катетом, AB — гипотенуза.

Найти: \( \angle ABC \).

Решение:

В прямоугольном треугольнике катет, лежащий против угла в 30°, равен половине гипотенузы. Из условия задачи (рисунок) видно, что \( \angle ACB = 90^\circ \).

Угол \( \angle ABC \) является углом при основании, противолежащим катету AC. Сумма углов в треугольнике равна 180°:

\( \angle ABC = 180^\circ - 90^\circ - 30^\circ = 60^\circ \).

Ответ: \( \angle ABC = 60^\circ \).

4. Задача на тему «Расстояние от точки до прямой».

Дано:

• Треугольник ABC — равнобедренный.
• Основание AC = 37 см.
• Внешний угол при вершине B равен \( 60^\circ \).

Найти: Расстояние от вершины C до прямой AB.

Решение:

1. Найдем внутренний угол при вершине B:

Внутренний угол при вершине B равен \( 180^\circ - 60^\circ = 120^\circ \).

2. Найдем углы при основании:

Так как треугольник ABC равнобедренный с основанием AC, то углы при основании равны: \( \angle BAC = \angle BCA \).

Сумма углов треугольника равна 180°:

\( \angle BAC + \angle BCA + \angle ABC = 180^\circ \)

\( 2 \angle BAC + 120^\circ = 180^\circ \)

\( 2 \angle BAC = 180^\circ - 120^\circ = 60^\circ \)

\( \angle BAC = \angle BCA = \frac{60^\circ}{2} = 30^\circ \).

3. Найдем расстояние от C до AB:

Расстояние от точки C до прямой AB — это длина перпендикуляра, опущенного из C на прямую AB. Обозначим точку пересечения перпендикуляра с прямой AB как H. Тогда CH — искомое расстояние.

Рассмотрим прямоугольный треугольник CBH. В нем \( \angle CHB = 90^\circ \). Угол \( \angle CBH \) — это угол при вершине B, который равен \( 120^\circ \). Мы должны рассмотреть продолжение стороны AB.

Пусть H — точка на прямой AB такая, что CH \( \perp \) AB. Угол, который образует сторона BC с продолжением AB, равен \( 180^\circ - 120^\circ = 60^\circ \). Или, если продлить AB, то угол ABC равен 120. Угол между BC и прямой AB равен 180-120 = 60.

Рассмотрим угол между BC и продолжением AB. Это будет \( 180^\text{o} - 120^\text{o} = 60^\text{o} \). В прямоугольном треугольнике CBH, \( \angle BCH = 180^\text{o} - 90^\text{o} - 60^\text{o} = 30^\text{o} \).

В равнобедренном треугольнике ABC, основание AC = 37 см. Углы при основании равны \( 30^\text{o} \).

Рассмотрим треугольник ABC. Опустим высоту BH на основание AC. \( BH \) будет биссектрисой и медианой.

\( AH = HC = \frac{37}{2} = 18.5 \) см.

В прямоугольном треугольнике CBH, \( \angle BCH = 30^\circ \). Катет, лежащий против угла \( 30^\circ \), равен половине гипотенузы. Это неверно, \( BH \) противолежит \( 30^\text{o} \).

Рассмотрим треугольник ABC. Угол B = \( 120^\text{o} \), \( \angle A = \angle C = 30^\text{o} \). AC = 37.

Опустим высоту CH на прямую AB. В прямоугольном треугольнике ACH (угол H = 90), \( \angle CAH = 30^\text{o} \).

\( CH = AC \tan(\angle CAH) = 37 \tan(30^\circ) \)

\( \tan(30^\circ) = \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3} \)

\( CH = 37 \cdot \frac{\sqrt{3}}{3} = \frac{37\sqrt{3}}{3} \) см.

Ответ: \( \frac{37\sqrt{3}}{3} \) см.