Билет №2. 1. Виды треугольников. 2. Доказать, что если при пересечении двух прямых секущей соответственные углы равны, то прямые параллельны. 3. Задача на тему «Признаки равенства треугольников». Отрезки АС и вм пересекаются и точкой пересечения делятся пополам. Доказать, что треугольник АBC равен треугольнику СМА.

Теоретические вопросы:

1. Виды треугольников:

• По углам:
  • Остроугольный — все углы острые (меньше 90°).
  • Прямоугольный — один угол прямой (равен 90°).
  • Тупоугольный — один угол тупой (больше 90°).
• По сторонам:
  • Разносторонний — все стороны имеют разную длину.
  • Равнобедренный — две стороны равны.
  • Равносторонний — все три стороны равны.

2. Признак параллельности прямых (соответственные углы):

Теорема: Если при пересечении двух прямых секущей соответственные углы равны, то эти прямые параллельны.

Дано: Прямые \( a \) и \( b \) пересечены секущей \( c \). \( \angle 1 \) и \( \angle 2 \) — соответственные углы, \( \angle 1 = \angle 2 \).

Доказать: \( a ​ \parallel b \).

Доказательство:

1. Пусть \( \angle 1 \) и \( \angle 3 \) — вертикальные углы. Тогда \( \angle 1 = \angle 3 \) (как вертикальные).
2. По условию \( \angle 1 = \angle 2 \).
3. Из равенства \( \angle 1 = \angle 3 \) и \( \angle 1 = \angle 2 \) следует, что \( \angle 2 = \angle 3 \).
4. Углы \( \angle 2 \) и \( \angle 3 \) являются накрест лежащими углами при пересечении прямых \( a \) и \( b \) секущей \( c \).
5. Поскольку накрест лежащие углы равны, то прямые \( a \) и \( b \) параллельны (по признаку параллельности прямых по накрест лежащим углам).

3. Задача на тему «Признаки равенства треугольников»:

Дано: Отрезки \( AC \) и \( BM \) пересекаются в точке O. \( AO = OC \), \( BO = OM \).

Доказать: \( \triangle ABC = \triangle CMA \).

Доказательство:

1. Рассмотрим \( \triangle ABO \) и \( \triangle CMO \).
2. По условию \( AO = OC \) и \( BO = OM \).
3. Углы \( \angle AOB \) и \( \angle COM \) вертикальные, значит, \( \angle AOB = \angle COM \).
4. По первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними), \( \triangle ABO = \triangle CMO \).
5. Из равенства треугольников следует, что \( AB = CM \).
6. Рассмотрим \( \triangle ABC \) и \( \triangle CMA \).
7. Мы знаем, что \( AB = CM \).
8. Сторона \( AC \) является общей для обоих треугольников.
9. Мы знаем, что \( BC = MA \) (так как \( \triangle OBC = \triangle OMA \) по первому признаку равенства треугольников: \( OB = OM \), \( OC = OA \), \( \angle BOC = \angle MOA \) — вертикальные).
10. Таким образом, три стороны \( \triangle ABC \) равны трём сторонам \( \triangle CMA \) (AB = CM, BC = MA, AC = AC).
11. Следовательно, по третьему признаку равенства треугольников, \( \triangle ABC = \triangle CMA \).