Билет №2. 1) Сформулировать определение и свойство вертикальных углов. 2) Сформулировать и доказать признаки равнобедренного треугольника. 3) Отрезки AD и BC пересекаются в точке O, AO=OD, BO=OC. Докажите, что ΔABO = ΔDCO.

Определение. Вертикальные углы — это углы, стороны одного из которых являются противоположными лучами сторон другого.

Свойство: вертикальные углы равны. Действительно, каждый из двух смежных с ними углов в сумме с соответствующим вертикальным углом составляет 180°. Поэтому вертикальные углы равны как смежные с одним и тем же углом.

Признаки равнобедренного треугольника: если в треугольнике равны два угла, то он равнобедренный; если медиана, проведённая к стороне, одновременно является высотой или биссектрисой, то треугольник равнобедренный.

Доказательство первого признака. Пусть в треугольнике ABC равны углы при A и B. По теореме о соотношении сторон и углов против равных углов лежат равные стороны: BC = AC. Значит, треугольник равнобедренный.

Доказательство второго признака. Пусть AD — медиана к BC, поэтому BD = DC. Если AD — высота, то углы ADB и ADC прямые. Треугольники ADB и ADC равны по двум сторонам и углу между ними, откуда AB = AC. Если AD — биссектриса, то углы BAD и DAC равны; вместе с BD = DC и общей стороной AD это даёт равенство треугольников ABD и ACD по двум сторонам и углу между ними, поэтому AB = AC.

AO = OD и BO = OC по условию. Углы AOB и DOC — вертикальные, следовательно, равны. Значит, треугольники ABO и DCO равны по двум сторонам и углу между ними.

Что и требовалось доказать.