Билет №15 1. Перпендикулярные прямые (определение). Перпендикуляр к прямой. 2. Докажите признак равнобедренного треугольника (по углам). 3. Докажите, что треугольник АВС — равнобедренный.

Билет №15

1. Перпендикулярные прямые и перпендикуляр к прямой:

• Перпендикулярные прямые — это две прямые, пересекающиеся под прямым углом (90°).
• Перпендикуляр к прямой — это отрезок, проведённый из точки, не лежащей на прямой, к этой прямой под прямым углом.

2. Признак равнобедренного треугольника (по углам):

Если два угла треугольника равны, то этот треугольник равнобедренный.

Доказательство:

Пусть в треугольнике ABC \( \angle A = \angle B \). Проведём биссектрису CD угла C. Она разделит угол C пополам. Рассмотрим треугольники ACD и BCD.

\( \angle A = \angle B \) (по условию).

\( \angle ACD = \angle BCD \) (так как CD — биссектриса).

Сторона CD — общая.

По второму признаку равенства треугольников (по стороне и двум прилежащим углам), треугольники ACD и BCD равны.

Из равенства треугольников следует, что AC = BC.

Так как у треугольника ABC две стороны равны, он является равнобедренным.

3. Доказательство, что треугольник АВС — равнобедренный:

На рисунке изображён треугольник ABC. Угол при вершине A равен 100°, внешний угол при вершине C равен 80°.

Сначала найдём угол C треугольника. Внутренний угол C и внешний угол при вершине C являются смежными, то есть их сумма равна 180°.

\( \angle C + 80^{\circ} = 180^{\circ} \)

\( \angle C = 180^{\circ} - 80^{\circ} \)

\( \angle C = 100^{\circ} \)

Теперь рассмотрим углы треугольника ABC:

\( \angle A = 100^{\circ} \)

\( \angle C = 100^{\circ} \)

Так как \( \angle A = \angle C \), то по признаку равнобедренного треугольника (если два угла треугольника равны, то этот треугольник равнобедренный), треугольник ABC является равнобедренным. При этом равными будут стороны, противолежащие этим углам: AB = BC.

Вывод: Треугольник ABC является равнобедренным.