Билет 15. 1. Что такое секущая? Назовите пары углов, которые образуются при пересечении двух прямых секущей. 2. Доказать свойство катета прямоугольного треугольника, лежащего против угла в 30°. Сформулировать обратное утверждение. 3. Луч BD проходит между сторонами угла АВС. Найдите угол DBC, если ∠ABC=63°, ∠ABD = 51°. 4. В треугольнике АВС (АВ=ВС) на сторонах АВ и ВС отложены равные отрезки АМ и СП соответственно. Докажите, что AN=СМ.

Question

Вопрос:

Фото задания: Билет 15. 1. Что такое секущая? Назовите пары углов, которые образуются при пересечении двух прямых секущей. 2. Доказать…

Билет 15. 1. Что такое секущая? Назовите пары углов, которые образуются при пересечении двух прямых секущей. 2. Доказать свойство катета прямоугольного треугольника, лежащего против угла в 30°. Сформулировать обратное утверждение. 3. Луч BD проходит между сторонами угла АВС. Найдите угол DBC, если ∠ABC=63°, ∠ABD = 51°. 4. В треугольнике АВС (АВ=ВС) на сторонах АВ и ВС отложены равные отрезки АМ и СП соответственно. Докажите, что AN=СМ.

Accepted Answer

Билет 15

Секущая — это прямая, которая пересекает две другие прямые. При пересечении двух прямых секущей образуются следующие пары углов:
- Накрест лежащие углы (например, $ ∠1 $ и $ ∠7 $, $ ∠4 $ и $ ∠6 $ на рисунке).
- Односторонние углы (например, $ ∠4 $ и $ ∠7 $, $ ∠3 $ и $ ∠8 $).
- Соответственные углы (например, $ ∠1 $ и $ ∠5 $, $ ∠2 $ и $ ∠6 $, $ ∠3 $ и $ ∠7 $, $ ∠4 $ и $ ∠8 $).
Свойство катета прямоугольного треугольника, лежащего против угла в $$30^ 0$$: Катет прямоугольного треугольника, лежащий против угла в $$30^ 0$$, равен половине гипотенузы.

Обратное утверждение: Если катет прямоугольного треугольника равен половине гипотенузы, то угол, лежащий против этого катета, равен $$30^ 0$$.

Решение задачи:
Дано: $ ∠ABC = 63^ 0 $, $ ∠ABD = 51^ 0 $. Луч BD проходит между сторонами угла ABC.
Найти: $ ∠DBC $.
Решение:
Поскольку луч BD проходит между сторонами угла ABC, то $ ∠ABC = ∠ABD + ∠DBC $.
Выразим $ ∠DBC $: $ ∠DBC = ∠ABC - ∠ABD $.
Подставим известные значения:
$ ∠DBC = 63^ 0 - 51^ 0 = 12^ 0 $.
Ответ: $$12^ 0$$.
Доказательство:
Дано: $ ∆ABC $, $ AB = BC $ ($ ∆ABC $ — равнобедренный), $ AM = CN $.
Доказать: $ AN = CM $.
Доказательство:
1. Рассмотрим $ ∆ABC $. Так как $ AB = BC $, то $ ∆ABC $ — равнобедренный.
2. По условию, на сторонах AB и BC отложены равные отрезки $ AM = CN $.
3. Рассмотрим $ ∆AMC $ и $ ∆ANC $.
4. Из равенства сторон $ AB = BC $ и отрезков $ AM = CN $, следует, что $ BM = BC - CN $ и $ BN = AB - AM $. Поскольку $ AB = BC $ и $ AM = CN $, то $ BM = BN $.
5. В равнобедренном треугольнике $ ∆ABC $ углы при основании равны: $ ∠BAC = ∠BCA $.
6. Рассмотрим треугольники $ ∆AMC $ и $ ∆CNA $. (Примечание: Изначально в условии сказано "отрезки AM и СП", но для доказательства AN=CM, вероятнее всего, подразумевались отрезки AM и CN. Если же СП, то задача не решается. Будем считать, что подразумевались CN).
7. Рассмотрим треугольники $ ∆ANC $ и $ ∆CMA $.
8. У нас есть: $ AC $ — общая сторона. $ ∠BAC = ∠BCA $.
9. В треугольнике $ ∆AMC $: $ AM = CN $, $ ∠C = ∠A $ (углы при основании равнобедренного $ ∆ABC $).
10. В треугольнике $ ∆ANC $: $ CN $, $ ∠A $.
11. Рассмотрим треугольники $ ∆AMC $ и $ ∆CNA $. (Это не те треугольники, которые нам нужны для доказательства AN=CM).
12. Переформулируем: Рассмотрим треугольники $ ∆ANC $ и $ ∆CMA $.
13. У нас есть: $ AC $ — общая сторона. $ ∆BAC = ∠BCA $ (углы при основании равнобедренного $ ∆ABC $).
14. Дано $ AM = CN $.
15. Рассмотрим треугольники $ ∆ABN $ и $ ∆CBM $ (также не подходят).
16. Правильное решение:
  Рассмотрим треугольники $ ∆ANC $ и $ ∆CMA $.
  У нас есть:
  1. $ AC $ — общая сторона.
  2. $ ∠A = ∠C $ (углы при основании равнобедренного $ ∆ABC $).
  3. $ AM = CN $ (дано).
  4. Необходимы треугольники, которые дадут нам равенство AN и CM.
  5. Рассмотрим $ ∆ABN $ и $ ∆CBM $.
  6. $ AB = CB $ (дано).
  7. $ ∠B $ — общий угол.
  8. $ BN = AB - AN $ и $ BM = CB - CM $.
  9. Это неверный путь.
  10. Попробуем другой подход:
  11. Рассмотрим треугольник $ ∆ABC $. $ AB = BC $.
  12. Отложим отрезки $ AM = CN $.
  13. Нам нужно доказать $ AN = CM $.
  14. Рассмотрим треугольник $ ∆ANC $ и треугольник $ ∆CMA $.
  15. Мы знаем $ ∠A = ∠C $.
  16. Для применения теоремы синусов:
  17. В $ ∆ANC $: $ \frac{AN}{\sin(\u2220C)} = \frac{CN}{\sin(\u2220CAN)} $.
  18. В $ ∆CMA $: $ \frac{CM}{\sin(\u2220A)} = \frac{AM}{\sin(\u2220ACM)} $.
  19. Это также не дает прямого решения.
  20. Вернемся к рассмотрению треугольников, которые содержат AN и CM.
  21. Рассмотрим $ ∆ANB $ и $ ∆CMB $.
  22. $ AB = CB $ (дано).
  23. $ ∠B $ — общий угол.
  24. $ AM = CN $ (дано).
  25. Из $ AB = BC $ и $ AM = CN $ следует, что $ BN = AB - AM $ и $ BM = BC - CN $.
  26. Тогда $ BN = BM $.
  27. Рассмотрим $ ∆ANB $ и $ ∆CMA $.
  28. $ AB=CB $, $ ∠B $ общий, $ AM=CN $.
  29. Предположим, что на сторонах AB и BC отложены отрезки AM и CN. Тогда нам нужно доказать AN=CM.
  30. Рассмотрим $ ∆AMC $ и $ ∆CNA $.
  31. $ AM = CN $ (дано).
  32. $ ∠A = ∠C $ (углы при основании равнобедренного $ ∆ABC $).
  33. AC — общая сторона.
  34. Нет, эти треугольники не равны по этим признакам.
  35. Правильное решение:
  36. Рассмотрим треугольник $ ∆ABC $. $ AB = BC $.
  37. Рассмотрим отрезки $ AM $ и $ CN $.
  38. Рассмотрим треугольники $ ∆ANC $ и $ ∆CMA $.
  39. У нас есть:
  40. 1. $ ∆ABC $ — равнобедренный, $ AB=BC $, $ ∠BAC = ∠BCA $.
  41. 2. $ AM=CN $ (дано).
  42. 3. Нам нужно доказать $ AN=CM $.
  43. Рассмотрим треугольники $ ∆AMC $ и $ ∆CNA $.
  44. $ ∆AMC $: сторона $ AM $, угол $ ∠A $, сторона $ AC $.
  45. $ ∆CNA $: сторона $ CN $, угол $ ∠C $, сторона $ AC $.
  46. Так как $ AM = CN $ и $ ∠A = ∠C $, и сторона $ AC $ — общая, то по первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними), $ ∆AMC = ∆CNA $.
  47. Из равенства треугольников следует равенство соответствующих сторон: $ AN = CM $.
Ответ: Доказано, что AN = CM.

Ответ:

Билет 15