Билет № 14 1) Сформулируйте теоремы об углах между касательной и хордой, между двумя хордами, между двумя секущими. 2) Сформулируйте и докажите свойство углов при основании равнобедренной трапеции. 3) Сторона равностороннего треугольника равна 16√3. Найдите медиану этого треугольника. 4) Биссектриса угла А параллелограмма ABCD пересекает его сторону ВС в точке Е. Найдите площадь параллелограмма ABCD, если ВЕ=7, ЕС=3, ∠ABC-150°.

1. Теоремы об углах:

Теорема об угле между касательной и хордой: Угол между касательной и хордой, проведенными из одной точки, равен половине дуги, заключенной между этими хордами.

Теорема о пересекающихся хордах: Если две хорды пересекаются в круге, то произведение отрезков одной хорды равно произведению отрезков другой хорды.

Теорема о пересекающихся секущих: Если из точки, лежащей вне круга, проведены две секущие, то произведение одной секущей на ее внешнюю часть равно произведению другой секущей на ее внешнюю часть.

2. Свойство углов при основании равнобедренной трапеции:

Свойство: Углы при каждом основании равнобедренной трапеции равны.

Доказательство: Пусть ABCD — равнобедренная трапеция с основаниями AD и BC, и боковыми сторонами AB = CD. Проведем высоту BH к основанию AD. В прямоугольных треугольниках ABH и DCK (где K — проекция C на AD), AH = DK (так как трапеция равнобедренная), AB = CD (по условию). Следовательно, треугольники ABH и DCK равны по гипотенузе и катету. Отсюда \( \angle BAH = \angle CDK \). Так как BC || AD, то \( \angle ABC = 180° - \angle BAD \) и \( \angle BCD = 180° - \angle CDA \). Так как \( \angle BAD = \angle CDA \), то \( \angle ABC = \angle BCD \).

3. Медиана равностороннего треугольника:

В равностороннем треугольнике медиана является также высотой и биссектрисой. Пусть сторона треугольника равна \( a = 16√3 \).

Медиана (высота) равностороннего треугольника вычисляется по формуле: \( h = \frac{a\sqrt{3}}{2} \).

\( h = \frac{(16\sqrt{3})\sqrt{3}}{2} = \frac{16 \cdot 3}{2} = 16 \cdot 3 / 2 = 8 \cdot 3 = 24 \).

4. Площадь параллелограмма ABCD:

Биссектриса угла A параллелограмма ABCD пересекает сторону BC в точке E. BE = 7, EC = 3. Следовательно, BC = BE + EC = 7 + 3 = 10.

Так как ABCD — параллелограмм, то AD = BC = 10.

Также, AB || DC и AD || BC.

Рассмотрим биссектрису угла A. Угол BAE = Угол DAE (по свойству биссектрисы). Так как AD || BC, то угол DAE = Угол ABE (как накрест лежащие углы при параллельных прямых AD и BC и секущей AE).

Следовательно, Угол BAE = Угол ABE. Это означает, что треугольник ABE — равнобедренный, и AB = BE = 7.

Итак, стороны параллелограмма AB = 7 и BC = 10.

Угол ∠ABC = 150°.

Площадь параллелограмма равна произведению двух смежных сторон на синус угла между ними:

\( S = AB · BC · µ{\sin(\angle ABC)} = 7 · 10 · \sin(150°) \).

\( \sin(150°) = \sin(180° - 30°) = \sin(30°) = \frac{1}{2} \).

\( S = 7 · 10 · µ\frac{1}{2} = 70 · \frac{1}{2} = 35 \).

Ответ: 1. Теоремы сформулированы выше. 2. Свойство сформулировано и доказано выше. 3. Медиана треугольника равна 24. 4. Площадь параллелограмма ABCD равна 35.