Билет №13. 1. Определение трапеции. Элементы трапеции. Виды трапеций. 2. Признаки подобия треугольников. Доказательство одного из них. 3. Задача.

Билет №13

1. Трапеция — это четырёхугольник, у которого две стороны параллельны, а две другие стороны не параллельны.

Элементы трапеции:

• Основания: параллельные стороны ( \( a \) и \( b \) ).
• Боковые стороны: непараллельные стороны ( \( c \) и \( d \) ).
• Высота: перпендикуляр, опущенный из любой точки одного основания на прямую, содержащую другое основание.

Виды трапеций:

• Обычная (или разнобокая) трапеция: боковые стороны разной длины.
• Равнобедренная (или равнобокая) трапеция: боковые стороны равны.
• Прямоугольная трапеция: одна из боковых сторон перпендикулярна основаниям.

2. Признаки подобия треугольников:

1. По двум углам: Если два угла одного треугольника равны двум углам другого треугольника, то такие треугольники подобны.
2. По двум сторонам и углу между ними: Если две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам другого треугольника, а углы, заключённые между этими сторонами, равны, то такие треугольники подобны.
3. По трём сторонам: Если три стороны одного треугольника пропорциональны трём сторонам другого треугольника, то такие треугольники подобны.

Доказательство признака подобия по двум углам:

Пусть даны два треугольника \( Δ ABC \) и \( Δ A_1B_1C_1 \) такие, что \( ∠A = ∠A_1 \) и \( ∠B = ∠B_1 \). Так как сумма углов треугольника равна 180°, то \( ∠C = 180° - ∠A - ∠B \) и \( ∠C_1 = 180° - ∠A_1 - ∠B_1 \). Следовательно, \( ∠C = ∠C_1 \).

Отложим на стороне \( AB \) отрезок \( AB_1 \) равный \( A_1B_1 \), и через точку \( B_1 \) проведем прямую, параллельную \( BC \), пересекающую \( AC \) в точке \( C_1 \).

Так как \( B_1C_1 ′′ BC \), то \( ∠AB_1C_1 = ∠ABC = ∠A_1B_1C_1 \) и \( ∠AC_1B_1 = ∠ABC \). Следовательно, \( ∠AC_1B_1 = ∠A_1C_1B_1 \).

Рассмотрим треугольники \( Δ AB_1C_1 \) и \( Δ A_1B_1C_1 \). У них \( AB_1 = A_1B_1 \), \( ∠A = ∠A_1 \), \( ∠AB_1C_1 = ∠A_1B_1C_1 \). Следовательно, \( Δ AB_1C_1 = Δ A_1B_1C_1 \) по второму признаку равенства треугольников.

Из равенства треугольников следует, что \( B_1C_1 = B_1C_1 \) и \( AC_1 = A_1C_1 \).

Так как \( B_1C_1 ′′ BC \), то из подобия треугольников \( Δ AB_1C_1 \) и \( Δ ABC \) следует, что \( \frac{AB_1}{AB} = \frac{AC_1}{AC} = \frac{B_1C_1}{BC} \).

Поскольку \( AB_1 = A_1B_1 \), \( AC_1 = A_1C_1 \), \( B_1C_1 = B_1C_1 \), то \( \frac{A_1B_1}{AB} = \frac{A_1C_1}{AC} = \frac{B_1C_1}{BC} \). Если бы мы построили треугольник \( Δ A_1B_1C_1 \) таким образом, чтобы \( A_1B_1 \) было меньше \( AB \), то мы бы получили \( \frac{AB_1}{A_1B_1} = \frac{AC_1}{A_1C_1} = \frac{B_1C_1}{B_1C_1} \), что и доказывает подобие.

3. Задача.

(Задача не предоставлена в изображении.)