Билет № 12: 1. Определение трапеции, её виды. Признаки равнобедренной трапеции. Площадь трапеции. 2. В треугольнике АВС отрезок DE — средняя линия. Площадь треугольника CDE равна 97. Найдите площадь треугольника АВС.

Решение:

Задача 2.

В треугольнике \( ABC \) отрезок \( DE \) является средней линией, где \( D \) — середина \( AC \), а \( E \) — середина \( BC \).

Средняя линия треугольника параллельна основанию и равна его половине: \( DE \parallel AB \) и \( DE = \frac{1}{2} AB \).

Треугольник \( CDE \) подобен треугольнику \( CAB \) по двум углам (\( ∠C \) — общий, \( ∠CDE = ∠CAB \) как соответственные при \( DE ‖ AB \) и секущей \( AC \)).

Коэффициент подобия \( k = \frac{DE}{AB} = \frac{1}{2} \).

Отношение площадей подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия:

\[ \frac{S_{CDE}}{S_{CAB}} = k^2 \]

\[ \frac{S_{CDE}}{S_{CAB}} = \left( \frac{1}{2} \right)^2 = \frac{1}{4} \]

Известно, что площадь треугольника \( CDE \) равна 97.

\[ S_{CDE} = 97 \]

Теперь найдём площадь треугольника \( ABC \):

\[ S_{CAB} = \frac{S_{CDE}}{1/4} = S_{CDE} \cdot 4 \]

\[ S_{CAB} = 97 \cdot 4 = 388 \]

Ответ: Площадь треугольника АВС равна 388.