Билет №11 1. Средняя линия треугольника (определение, теорема и доказательство) 2. В треугольнике АВС угол C равен 90°, а угол В равен 70". На катете АС отложен отрезок CD, равный СВ. Найти углы треугольника ABD

Решение:

1. Средняя линия треугольника: Отрезок, соединяющий середины двух сторон треугольника, называется средней линией. Теорема: Средняя линия треугольника параллельна основанию и равна половине основания. Доказательство: Пусть M и N — середины сторон AB и BC треугольника ABC. Тогда MN — средняя линия. По теореме Фалеса, MN || AC. Также MN = \( \frac{1}{2} \) AC.

2. Решение задачи:

1. В треугольнике ABC: \( C = 90^, B = 70^ \).
2. Найдем угол A: \( A = 180^ - 90^ - 70^ = 20^ \).
3. По условию CD = CB. Треугольник CDB — равнобедренный.
4. Угол CBD = \( B = 70^ \) (часть угла B треугольника ABC).
5. Угол BDC = Угол BCD = \( (180^ - 70^) / 2 = 110^ / 2 = 55^ \).
6. Угол BDA — смежный с углом BDC. \( BDA = 180^ - 55^ = 125^ \).
7. Рассмотрим треугольник ABD:
\( BAD = A = 20^ \) \( BDA = 125^ \) \( ABD = 180^ - 20^ - 125^ = 35^ \).

Ответ: Углы треугольника ABD равны: \( BAD = 20^, BDA = 125^, ABD = 35^.