Билет № 11: 1. Определение прямоугольника. Признаки прямоугольника. Площадь прямоугольника. 2. Отрезок АВ = 40 касается окружности радиуса 75 с центром О в точке В. Окружность пересекает отрезок АО в точке D. Найдите AD.

Решение:

Задача 2.

Рассмотрим прямоугольный треугольник \( \triangle OBA \).

\( OB \) — радиус окружности, \( OB = 75 \).

\( AB \) — отрезок, касающийся окружности в точке \( B \), следовательно, \( \angle OBA = 90^{\circ} \).

\( AB = 40 \).

По теореме Пифагора в \( \triangle OBA \):

\[ OA^2 = OB^2 + AB^2 \]

\[ OA^2 = 75^2 + 40^2 \]

\[ OA^2 = 5625 + 1600 \]

\[ OA^2 = 7225 \]

\[ OA = \sqrt{7225} = 85 \]

Точка \( D \) лежит на отрезке \( AO \) и на окружности. Следовательно, \( OD \) — радиус окружности.

\[ OD = 75 \]

Так как \( D \) лежит на \( AO \), то \( AO = AD + OD \).

\[ 85 = AD + 75 \]

\[ AD = 85 - 75 = 10 \]

Ответ: AD = 10.