Билет № 10 1) Дайте определение центрального и вписанного углов окружности. Сформулируйте свойство вписанного угла. 2) Запишите формулы площадей параллелограмма, ромба, трапеции. Запишите вывод одной из формул (по выбору). 3) Диагональ параллелограмма образует с его сторонами углы 35° и 42°. Найдите больший угол параллелограмма. 4) Основания равнобедренной трапеции равны 8 и 18, а периметр 56. Найдите площадь трапеции.

Билет № 10

1. Центральный и вписанный углы

Центральный угол — это угол с вершиной в центре окружности. Его стороны пересекают окружность.

Вписанный угол — это угол, вершина которого лежит на окружности, а стороны пересекают окружность.

Свойство вписанного угла: Вписанный угол равен половине центрального угла, опирающегося на ту же дугу.

2. Формулы площадей

• Параллелограмм: \( S = a \cdot h \), где \( a \) — сторона, \( h \) — высота.
• Ромб: \( S = d_1 \cdot d_2 / 2 \), где \( d_1 \) и \( d_2 \) — диагонали.
• Трапеция: \( S = (a+b)/2 \cdot h \), где \( a \) и \( b \) — основания, \( h \) — высота.

Вывод формулы площади трапеции:

Трапецию можно разбить на два треугольника (например, проведя диагональ). Площадь трапеции равна сумме площадей этих треугольников. Другой способ: две одинаковые трапеции можно сложить так, чтобы получился параллелограмм. Площадь параллелограмма равна \( (a+b) \cdot h \). Площадь трапеции будет в два раза меньше: \( S = (a+b)h / 2 \).

3. Больший угол параллелограмма

Пусть данный параллелограмм ABCD. Диагональ AC образует с одной стороной (например, AB) угол \( \alpha = 35° \), а с другой стороной (AD) — угол \( \beta = 42° \). Тогда угол \( \angle DAB = \alpha + \beta = 35° + 42° = 77° \).

Сумма углов, прилежащих к одной стороне параллелограмма, равна 180°. Значит, соседний угол \( \angle ABC = 180° - 77° = 103° \).

Больший угол параллелограмма равен 103°.

4. Площадь равнобедренной трапеции

Основания \( a = 8 \) см, \( b = 18 \) см. Периметр \( P = 56 \) см.

Сумма боковых сторон \( 2c = P - (a+b) = 56 - (8+18) = 56 - 26 = 30 \) см.

Боковая сторона \( c = 30 / 2 = 15 \) см.

Чтобы найти высоту, проведём из вершин меньшего основания перпендикуляры к большему основанию. Получим два прямоугольных треугольника с гипотенузой \( c = 15 \) см. Катет, лежащий при основании, равен \( (b-a)/2 = (18-8)/2 = 10/2 = 5 \) см.

По теореме Пифагора найдём высоту \( h \): \( h^2 = c^2 - ((b-a)/2)^2 = 15^2 - 5^2 = 225 - 25 = 200 \). \( h = \sqrt{200} = 10\sqrt{2} \) см.

Площадь трапеции: \( S = (a+b)/2 \cdot h = (8+18)/2 \cdot 10\sqrt{2} = 26/2 \cdot 10\sqrt{2} = 13 \cdot 10\sqrt{2} = 130\sqrt{2} \) см².

Ответ: 103°; 130\(\sqrt{2}\) см².