Билет №10: 1. Определение подобных треугольников. Признаки подобия. Третий признак подобия треугольников (доказательство) 2. В треугольнике ABC угол А меньше угла В в три раза, а внешний угол при вершине А больше внешнего угла при вершине В на 40°. Найти внутренние углы треугольника АВС.

Билет №10

1. Определение подобных треугольников: Два треугольника называются подобными, если их соответствующие углы равны, а соответствующие стороны пропорциональны.
2. Признаки подобия:
   
   
   
   1. Первый признак (по двум углам): Если два угла одного треугольника соответственно равны двум углам другого треугольника, то такие треугольники подобны.
   2. Второй признак (по двум сторонам и углу между ними): Если две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам другого треугольника, а углы, заключённые между этими сторонами, равны, то такие треугольники подобны.
   3. Третий признак (по трём сторонам): Если три стороны одного треугольника пропорциональны трём сторонам другого треугольника, то такие треугольники подобны.
3. Доказательство третьего признака:
   Пусть даны два треугольника ABC и A₁B₁C₁. Известно, что \( \frac{AB}{A_1B_1} = \frac{BC}{B_1C_1} = \frac{AC}{A_1C_1} = k \), где \( k \) — коэффициент подобия. Отложим на сторонах AB, BC, AC отрезки \( AB' = k \cdot A_1B_1 \), \( BC' = k \cdot B_1C_1 \), \( AC' = k \cdot A_1C_1 \). По второму признаку подобия, треугольники ABC и A'B'C' подобны, и \( \angle A = \angle A_1 \), \( \angle B = \angle B_1 \), \( \angle C = \angle C_1 \).

Решение задачи:

Пусть \( \angle A = x \). Тогда \( \angle B = 3x \). Внешний угол при вершине А равен \( 180^\circ - \angle A \), а внешний угол при вершине В равен \( 180^\circ - \angle B \). По условию, \( 180^\circ - \angle A = (180^\circ - \angle B) + 40^\circ \). Подставим значения углов:

\( 180^\circ - x = (180^\circ - 3x) + 40^\circ \) \( 180^\circ - x = 180^\circ - 3x + 40^\circ \) \( -x = -3x + 40^\circ \) \( 2x = 40^\circ \) \( x = 20^\circ \)

Таким образом, \( \angle A = 20^\circ \). Тогда \( \angle B = 3 \cdot 20^\circ = 60^\circ \). Сумма углов в треугольнике равна \( 180^\circ \), поэтому \( \angle C = 180^\circ - \angle A - \angle B = 180^\circ - 20^\circ - 60^\circ = 100^\circ \).

Ответ: Углы треугольника ABC равны 20°, 60°, 100°.