Билет 10 1. Окружность, описанная около треугольника. 2. Признаки равенства прямоугольных треугольников. 3. Найдите смежные углы, если один из них на 50° больше другого. 4. В треугольнике АВС АС=ВС. Внешний угол при вершине С равен 84°. Найдите угол В.

Решение:

1. Окружность, описанная около треугольника — это окружность, проходящая через все три вершины треугольника. Центр такой окружности называется центром описанной окружности, а радиус — радиусом описанной окружности. Центр описанной окружности равноудален от всех вершин треугольника.
2. Признаки равенства прямоугольных треугольников:
   • По двум катетам: Если два катета одного прямоугольного треугольника соответственно равны двум катетам другого, то такие треугольники равны.
   • По катету и прилежащему острому углу: Если катет и прилежащий к нему острый угол одного прямоугольного треугольника соответственно равны катету и прилежащему к нему острому углу другого, то такие треугольники равны.
   • По катету и противолежащему острому углу: Если катет и противолежащий ему острый угол одного прямоугольного треугольника соответственно равны катету и противолежащему ему острому углу другого, то такие треугольники равны.
   • По гипотенузе и острому углу: Если гипотенуза и один из острых углов одного прямоугольного треугольника соответственно равны гипотенузе и одному из острых углов другого, то такие треугольники равны.
   • По гипотенузе и катету: Если гипотенуза и катет одного прямоугольного треугольника соответственно равны гипотенузе и катету другого, то такие треугольники равны.
3. Задано:
   • Два смежных угла.
   • Один угол на 50° больше другого.
   Найти: Величины смежных углов.

Решение:

1. Обозначим меньший угол как x.
2. Тогда больший угол будет x + 50°.
3. Сумма смежных углов равна 180°.

x + (x + 50°) = 180°

2x + 50° = 180°

2x = 180° - 50°

2x = 130°

x = 130° / 2 = 65°

1. Меньший угол равен 65°.
2. Больший угол равен 65° + 50° = 115°.
3. Проверка: 65° + 115° = 180°.
4. Задано:
   • ∏ABC.
   • AC = BC (следовательно, ∏ABC — равнобедренный).
   • Внешний угол при вершине C равен 84°.
   Найти: ∡B.

Решение:

1. Внешний угол треугольника равен сумме двух других углов, не смежных с ним.
2. Внешний угол при вершине C = ∡A + ∡B.
3. Так как ∏ABC — равнобедренный с AC = BC, то углы при основании AB равны: ∡A = ∡B.
4. Подставим это в уравнение для внешнего угла:

84° = ∡B + ∡B

84° = 2 * ∡B

∡B = 84° / 2 = 42°

Ответ:

1. • Окружность, описанная около треугольника.
   • Признаки равенства прямоугольных треугольников.
   • Смежные углы равны 65° и 115°.
   • ∡B = 42°.