Билет №6

Задача 1: Доказать теорему о вычислении площади параллелограмма.

Теорема: Площадь параллелограмма равна произведению его основания на высоту, проведённую к этому основанию.

Доказательство:

Пусть дан параллелограмм ABCD, где AB - основание, а BH - высота, проведённая к стороне AD.

Площадь параллелограмма равна сумме площадей двух треугольников: $$S_{ABCD} = S_{ABD} + S_{BCD}$$.

Так как диагональ BD делит параллелограмм на два равных треугольника, то $$S_{ABD} = S_{BCD}$$.

Следовательно, $$S_{ABCD} = 2 cdot S_{ABD}$$.

Площадь треугольника ABD равна половине произведения основания AD на высоту BH, то есть $$S_{ABD} = \frac{1}{2} cdot AD cdot BH$$.

Таким образом, $$S_{ABCD} = 2 cdot \frac{1}{2} cdot AD cdot BH = AD cdot BH$$.

Следовательно, площадь параллелограмма равна произведению его основания на высоту, что и требовалось доказать.

Задача 2: Вписанная окружность, центр вписанной окружности. Свойство сторон четырёхугольника, описанного около окружности.

Вписанная окружность — это окружность, касающаяся всех сторон многоугольника. Центр вписанной окружности является точкой пересечения биссектрис углов этого многоугольника.

Свойство сторон четырёхугольника, описанного около окружности: Если в четырёхугольник можно вписать окружность, то суммы противоположных сторон равны. То есть, для четырёхугольника ABCD, описанного около окружности, выполняется условие: $$AB + CD = BC + AD$$.

Задача 3: В треугольнике ABC угол A = 75°, угол B = 30°, AB = 10см. Найти площадь треугольника.

Сумма углов треугольника равна 180°, поэтому угол C = 180° - 75° - 30° = 75°.

Так как углы A и C равны, то треугольник ABC равнобедренный, и AB = BC = 10 см.

Площадь треугольника можно найти по формуле: $$S = \frac{1}{2} cdot AB cdot BC cdot \sin{B}$$.

Подставляем значения: $$S = \frac{1}{2} cdot 10 cdot 10 cdot \sin{30°}$$.

Так как $$\sin{30°} = \frac{1}{2}$$, то $$S = \frac{1}{2} cdot 10 cdot 10 cdot \frac{1}{2} = 25$$ см².

Ответ: Площадь треугольника равна 25 см².

Задача 4: Найти сторону равностороннего треугольника, если радиус описанной окружности равен 10см.

Для равностороннего треугольника радиус описанной окружности связан со стороной формулой: $$R = \frac{a}{\sqrt{3}}$$, где a - сторона треугольника, R - радиус описанной окружности.

В нашем случае R = 10 см. Необходимо найти сторону a.

Выразим a из формулы: $$a = R \sqrt{3}$$.

Подставим значение R: $$a = 10 \sqrt{3}$$ см.

Ответ: Сторона равностороннего треугольника равна $$10\sqrt{3}$$ см.