Билет № 14 1) Сформулируйте теоремы об углах между касательной и хордой, между двумя хордами, между двумя секущими. 2) Сформулируйте и докажите свойство углов при основании равнобедренной трапеции. 3) Сторона равностороннего треугольника равна $$16\sqrt{3}$$. Найдите медиану этого треугольника. 4) Биссектриса угла А параллелограмма ABCD пересекает его сторону BC в точке E. Найдите площадь параллелограмма ABCD, если BE=7, EC=3, \angle ABC=150°.

Вопрос 1: Сформулируйте теоремы об углах между касательной и хордой, между двумя хордами, между двумя секущими.

Ответ:

• Угол между касательной и хордой, проведенной через точку касания, равен половине дуги, заключенной между ними.
• Угол между двумя пересекающимися хордами равен полусумме дуг, заключенных между хордами.
• Угол, образованный двумя секущими, пересекающимися вне круга, равен полуразности большей и меньшей дуг, заключенных между секущими.

Вопрос 2: Сформулируйте и докажите свойство углов при основании равнобедренной трапеции.

Ответ: В равнобедренной трапеции углы при каждом основании равны.

Доказательство:

Пусть дана трапеция ABCD, где AD || BC и AB = CD. Нужно доказать, что ∠BAD = ∠CDA и ∠ABC = ∠DCB.

Проведем высоты BH и CF. Рассмотрим прямоугольные треугольники ABH и DCF. У них AB = CD (по условию), BH = CF (как высоты трапеции). Следовательно, треугольники ABH и DCF равны по гипотенузе и катету. Из равенства треугольников следует, что AH = DF.

Так как AD || BC, то BCFH - прямоугольник, и BC = HF. Тогда AD = AH + HF + FD = AH + BC + DF = BC + 2AH.

Следовательно, углы ∠BAH = ∠CDF. Поскольку ∠BHA = ∠CFD = 90°, то ∠BAH + ∠ABH = 90° и ∠CDF + ∠DCF = 90°. Значит, ∠ABH = ∠DCF. Но ∠BAD = ∠BAH + 90° и ∠CDA = ∠CDF + 90°. Следовательно, ∠BAD = ∠CDA.

Аналогично можно доказать равенство углов ∠ABC = ∠DCB.

Вопрос 3: Сторона равностороннего треугольника равна $$16\sqrt{3}$$. Найдите медиану этого треугольника.

Решение:

В равностороннем треугольнике все стороны равны, и медиана, проведенная к любой стороне, также является высотой и биссектрисой. Высоту (медиану) равностороннего треугольника можно найти по формуле:

$$h = \frac{a\sqrt{3}}{2}$$

где $$a$$ - сторона треугольника.

В нашем случае $$a = 16\sqrt{3}$$. Подставим это значение в формулу:

$$h = \frac{16\sqrt{3} \cdot \sqrt{3}}{2} = \frac{16 \cdot 3}{2} = \frac{48}{2} = 24$$

Ответ: 24

Вопрос 4: Биссектриса угла A параллелограмма ABCD пересекает его сторону BC в точке E. Найдите площадь параллелограмма ABCD, если BE=7, EC=3, ∠ABC=150°.

Решение:

1. Найдем сторону BC: BC = BE + EC = 7 + 3 = 10.

2. Так как AE - биссектриса угла A, то ∠BAE = ∠EAD. Поскольку AD || BC, то ∠EAD = ∠BEA как накрест лежащие углы. Значит, ∠BAE = ∠BEA, следовательно, треугольник ABE - равнобедренный, и AB = BE = 7.

3. Площадь параллелограмма можно найти по формуле:

$$S = a \cdot b \cdot sin(\alpha)$$

где $$a$$ и $$b$$ - стороны параллелограмма, а $$\alpha$$ - угол между ними.

В нашем случае $$a = AB = 7$$, $$b = BC = 10$$, $$\alpha = \angle ABC = 150°$$.

4. Найдем синус угла 150°: sin(150°) = sin(180° - 30°) = sin(30°) = 0.5.

5. Подставим значения в формулу площади:

$$S = 7 \cdot 10 \cdot 0.5 = 70 \cdot 0.5 = 35$$

Ответ: 35